COURS 2
Fonctions usuelles
APPLICATION 1
Déterminer l’ensemble des couples (n, p) ∈ N
∗2
tels
que :
n = pe tn
p
= p
n
Remarquons que n
p
= p
n
⇐⇒
ln n
n
=
ln p
p
, ce qui
nous conduitàétudier la fonction f : x
→
ln x
x
.
Cette fonction est dérivable sur R
∗
+ , de dérivée
1 − ln x
x 2 , elle est donc croissante sur ]0, e], décroissante sur [e, +∞[.
Nous cherchons n et p entiers tels que :
f (n) = f (p); l’un de ces deux entiers appartient nécessairementà ]0, e].
Or f (1) = 0, valeur atteinte en ce seulp oint,
f (2) =
ln 2
2
=
ln 4
4
= f (4). Les couples (2, 4)
et (4, 2) sont donc les seules solutions (Doc.2).
y
x
0
2
14 e
1
e
Doc. 2
1.2 • Fonction exponentielle de base e
Vous avez vu en Terminale que toute fonction f strictement monotone et continuesur un intervalle I de R réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f (I );
la bijection réciproque f
−1
est alors strictement monotone et continue de J
dans I .
La fonction logarithme népérien est continuee ts trictement croissante sur l’intervalle ]0, +∞[. Elle est donc bijective.S ab ijection réciproque est continue et
strictement croissante de R dans ]0, +∞[; elleest appelée exponentielle et notée
exp .
Pour tous réels x et y, on a:
ln(exp(x)exp(y)) = ln(exp(x)) +ln(exp(y)) = x + y = ln(exp(x + y))
D’où, puisque la fonction logarithme népérien est bijective :
∀(x, y) ∈ R
2
exp(x + y) = exp(x)exp(y)
On en déduit :
∀x ∈ R exp(−x) =
1
exp(x)
∀(x, y) ∈ R
2
exp(x − y) =
exp(x)
exp(y)
∀n ∈ Z ∀x ∈ R exp(nx) =
exp(x)
n
On remarque que :
∀n ∈ Z exp(n) = exp(n1) =
exp(1)
n
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