Fonctions usuelles
COURS
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1 Fonctionslogarithmes
et exponentielles
1.1 • Fonction logarithme népérien
Nous verrons dans le chapitre 18 que toute fonction continue sur un intervalle
possède des primitives sur cet intervalle. Lesprimitives d’une même fonction sur
un intervalle sont égales àu ne constante près. On peut spécifier une primitive
particulière en précisant sa valeur en un pointdel’intervalle.
On appelle logarithme népérien la primitive de la fonction x
→
1
x
sur R
∗
+ , qui
s’annule en 1. Cette fonction est notée x
→ ln x.
Par définition, la fonction ln est dérivablesur R
∗
+ et sa dérivée
1
x
est strictement
positive :l ne st strictement croissante sur R
∗
+ .
Pourtout réel y strictement positif,lafonction x
→ ln(xy)e st une primitive de
1
x
sur R
∗
+ , donc ln(xy) = ln x + C .
Pour x = 1, on obtient C = ln y.
IMPORTANT
Cettep ropriété sera démontrée au
§3.4 du chapitre 15.
D’où:
∀(x,y)∈R
∗
+
2
ln(xy) = ln x +lny
On en déduit :
∀x ∈ R
∗
+
ln
1
x
= − ln x
∀(x, y) ∈ (R
∗
+ )
2
ln
x
y
= ln x − ln y
∀n ∈ Z ∀x ∈ R
∗
+
ln x
n
= n ln x
ln étantstrictement croissante, elle admet une limite finie ou infinie en +∞.
y
x
0
1
ln
x 1
−
Doc. 1 Logarithme répérien.
Comme ln 2
n
= n ln 2, lim
n→+∞
ln 2
n
= +∞. La limite de ln en +∞ ne peut donc
être que+ ∞ .
lim
x→+∞
ln x = +∞
En changeant x en
1
x
, on en déduit :
lim
x→0
ln x = −∞
La fonction ln ayant une dérivéed écroissante (on dit qu’elle est concave), sa
courbe représentative est en dessous de sa tangente en tout point, en particulier au
point 1(Doc.1) :
∀x ∈ R
∗
+
ln x x − 1
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