Dimension des espaces vectoriels
EXERCICES
21
Applications linéaires
en dimension finie
9 Soit E un K-e.v. de dimension n et F , G deux
s.e.v. de E. Donner unec ondition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un endomorphisme u de E tel
que Im u = F et Ker u = G.
10 Soit E un K-e.v.d ed imension n. Montrerq u’il
existe un endomorphisme u de E tel que Im u = Ker u
si et seulement si n est pair.
11 Soit E et F deux K-e.v. de dimensionfinie et f , g
deux applicationslinéaires de E dans F . Montrerque :
|rg f − rg g| rg (f + g) rg f +rgg
12 Soit E un K-e.v.d ed imension n 1e tf
un endomorphisme nilpotent de E, c’est-à-dire que :
∃p ∈ N
∗
f
p
= 0( 1)
Soit p 0 le plus petite ntier vérifiant (1) (on l’appelle indice de nilpotence de f ). Montrer qu’il existe
x ∈ E telq ue f
p0−1
(x) = 0e tq ue la famille
(x, f (x), f
2
(x), ··· ,f
p0−1
(x)) est libre.
Comparer p 0 et n. En déduire que f
n
= 0.
On rappelle dans la suite que si f et g sont deux
endomorphismes de E, on note f ◦ g = fg.
13
∗
Soit E et F deux K-e.v. de dimensionf inie et
f ∈L ( E , F ) , g∈L ( F , E )t elles que fgf = f et
gfg = g.
1) Montrer que Im g et Ker f sont supplémentaires dans
E, et que Im f et Ker g sont supplémentaires dans F .
2) Montrer que f , g, fg et gf ont le même rang.
14
∗
Soit E, F , G, H quatre K-e.v.dedimension finie
et f ∈L(E,F), g∈L(F,G), h∈L(G,H).
1) Montrer que
rg (gf ) = rg f − dim (Im f ∩ Ker g)
(appliquer le théorème du rang àl ar estriction de g à
Im f ).
2) En déduire que :
rg f +rgg−dim F rg (gf ) min (rg f , rg g)
3) Montrer que
rg (gf )+rg(hg) rg g +rg(hgf )
(réutiliserlerésultat de la question 1)).
Exercices posés aux oraux des concours
15 (TPE 2006)
Montrerque la famille (ln p)o ùpdécrit l’ensemble des
nombrespremiers estlibre dans le Q-espace vectoriel R .
16 (Petites Mines 2000)
Soit E un K -espacev ectoriel et f ∈L ( E )t el que
f
2
= −f .
1) Montrerque Ker (f + Id E ) = Im f .
2) Si E estd ed imension finie, montrer que
E = Im f ⊕ Im (f + Id E ).
17 (Petites Mines 2003)
Soit n 1;on pose, pour (α, β) ∈ R
2
telque α = β :
E(α) = {P ∈ R n [X ], P(α) = 0} ;
E(β) = {P ∈ R n [X ], P(β) = 0} ;
E = {P ∈ R n [X ], P(α) = P(β) = 0} .
1) E(α), E(β)e tEsont-ils des sous-espaces vectoriels de
R n [X ]?
2) Soit
R n [X ] →
u
R n [X ]
P
→ P(α)X + P(β)
.
a) Montrer que u estunendomorphisme de R n [X ].
b) Déterminer Ker u et Im u .
3) Montrer que R n [X ] = E(α)+E(β).
4) La somme est-elle directe ?
18 (Petites Mines 2004)
Soit
R 3 [X ] →
f a
R 3
P
→ P(−2), P(2), P(a)
.
1) Déterminer en discutant suivantlavaleur de a le noyau
et le rang de f a .
2) Existe-t-il une solution de degré 2d el ’équation
f a (p) = (3, 2, 1) ?
Est-elle unique ?
3) Trouver les solutions de degré 2a up lus, puis résoudre
complètementl’équation ci-dessus.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
395
EXERCICES
21
Applications linéaires
en dimension finie
9 Soit E un K-e.v. de dimension n et F , G deux
s.e.v. de E. Donner unec ondition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un endomorphisme u de E tel
que Im u = F et Ker u = G.
10 Soit E un K-e.v.d ed imension n. Montrerq u’il
existe un endomorphisme u de E tel que Im u = Ker u
si et seulement si n est pair.
11 Soit E et F deux K-e.v. de dimensionfinie et f , g
deux applicationslinéaires de E dans F . Montrerque :
|rg f − rg g| rg (f + g) rg f +rgg
12 Soit E un K-e.v.d ed imension n 1e tf
un endomorphisme nilpotent de E, c’est-à-dire que :
∃p ∈ N
∗
f
p
= 0( 1)
Soit p 0 le plus petite ntier vérifiant (1) (on l’appelle indice de nilpotence de f ). Montrer qu’il existe
x ∈ E telq ue f
p0−1
(x) = 0e tq ue la famille
(x, f (x), f
2
(x), ··· ,f
p0−1
(x)) est libre.
Comparer p 0 et n. En déduire que f
n
= 0.
On rappelle dans la suite que si f et g sont deux
endomorphismes de E, on note f ◦ g = fg.
13
∗
Soit E et F deux K-e.v. de dimensionf inie et
f ∈L ( E , F ) , g∈L ( F , E )t elles que fgf = f et
gfg = g.
1) Montrer que Im g et Ker f sont supplémentaires dans
E, et que Im f et Ker g sont supplémentaires dans F .
2) Montrer que f , g, fg et gf ont le même rang.
14
∗
Soit E, F , G, H quatre K-e.v.dedimension finie
et f ∈L(E,F), g∈L(F,G), h∈L(G,H).
1) Montrer que
rg (gf ) = rg f − dim (Im f ∩ Ker g)
(appliquer le théorème du rang àl ar estriction de g à
Im f ).
2) En déduire que :
rg f +rgg−dim F rg (gf ) min (rg f , rg g)
3) Montrer que
rg (gf )+rg(hg) rg g +rg(hgf )
(réutiliserlerésultat de la question 1)).
Exercices posés aux oraux des concours
15 (TPE 2006)
Montrerque la famille (ln p)o ùpdécrit l’ensemble des
nombrespremiers estlibre dans le Q-espace vectoriel R .
16 (Petites Mines 2000)
Soit E un K -espacev ectoriel et f ∈L ( E )t el que
f
2
= −f .
1) Montrerque Ker (f + Id E ) = Im f .
2) Si E estd ed imension finie, montrer que
E = Im f ⊕ Im (f + Id E ).
17 (Petites Mines 2003)
Soit n 1;on pose, pour (α, β) ∈ R
2
telque α = β :
E(α) = {P ∈ R n [X ], P(α) = 0} ;
E(β) = {P ∈ R n [X ], P(β) = 0} ;
E = {P ∈ R n [X ], P(α) = P(β) = 0} .
1) E(α), E(β)e tEsont-ils des sous-espaces vectoriels de
R n [X ]?
2) Soit
R n [X ] →
u
R n [X ]
P
→ P(α)X + P(β)
.
a) Montrer que u estunendomorphisme de R n [X ].
b) Déterminer Ker u et Im u .
3) Montrer que R n [X ] = E(α)+E(β).
4) La somme est-elle directe ?
18 (Petites Mines 2004)
Soit
R 3 [X ] →
f a
R 3
P
→ P(−2), P(2), P(a)
.
1) Déterminer en discutant suivantlavaleur de a le noyau
et le rang de f a .
2) Existe-t-il une solution de degré 2d el ’équation
f a (p) = (3, 2, 1) ?
Est-elle unique ?
3) Trouver les solutions de degré 2a up lus, puis résoudre
complètementl’équation ci-dessus.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
395