Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une famille de vecteurs est libre si et seulement si ses
éléments ne sont pas colinéaires deux àdeux.
b) Une famille (x i )e st liée si :
n
i=1
α i x i = 0 ⇒ (α 1 , α 2 , ··· ,α n ) = (0, 0, ··· ,0)
c) Une famille est liée si et seulement si chacun de seséléments estcombinaison linéaire des autres.
d) Une famille génératrice finie ne peut avoir moins d’éléments qu’une famille libre.
e) Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille
de strictement plus de n éléments estliée.
f) Dansunespace vectoriel de dimension n, toute famille
de moinsde n éléments est libre.
g) Dansunespace vectoriel de dimension n, toute famille
de n éléments est une base.
h) Si F et G sont deux s.e.v. supplémentaires dans E,
dim F +dim G = dim E.
i) Toute ndomorphisme injectif d’un espace vectoriel de
dimensionfinie est un automorphisme.
j) Pour tout endomorphisme f de E, Im f et Ker f
sont supplémentaires.
Familles libres ou liées
2 Les famillessuivantes de R
3
sont-elles libres ou liées ?
a) x 1 = (1, 1, 0)
x 2 = (0, 1, 1)
b) x 1 = (0, 0, 1)
x 2 = (0, 1, 1)
x 3 = (1, 1, 1)
c) x 1 = (0, 1, −1) x 2 = (1, 0, −1) x 3 = (1, −1, 0)
d) x 1 = (1, 1, −1) x 2 = (1, −1, 1) x 3 = (−1, 1, 1)
x 4 = (1, 1, 1)
3 Lesfamilles suivantes de R
R
sont-elles libres ou liées ?
a) f 1 : x
→ cos xf 2 : x → sin xf 3 : x → 1;
b) f 1 : x → cos
2
xf 2 : x → cos 2xf 3 : x → 1;
c) f i : x
→ e
λi x
(λ 1 , ··· ,λ n )étant n réels distinctsdeux àdeux ;
d) f k : x
→ sin kx k ∈ [[ 1 , n ]] .
4
∗ 1) Soit E un K-e.v. et f un endomorphisme
non nul de E telq ue, pour tout x ∈ E, x et f (x)
soient colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe λ x ∈ K telq ue
f (x) = λ x x.
Démontrer que f est une homothétievectorielle.
2) En déduire l’ensemble des endomorphismes de E qui
commutent avec tout endomorphismede E.
Bases et dimension
5 Déterminer la dimensiond es espaces vectoriels suivants:
a) { (x, y, z) ∈ R
3
, x − 2y +3z=0};
b) { (x, y, z) ∈ R
3
, x = 2y = 3z } ;
c)
{ (x, y, z, t) ∈ R
4
, x + y = 0; y+z=0;
z+t=0; t+x=0};
d) { P ∈ R 4 [X ] , P(1) = 0 } ;
e) ensemble dessuites arithmétiques ;
f) ensemble des fonctions dont la dérivéeseconde est nulle ;
g) ensemble des solutions de l’équation différentielle
y
+4y=0.
6 Déterminer une base de l’image et une base du noyau
des applications linéaires suivantes :
a) R
2
→ R
3
(x, y)
→ (x − y, y − x, 0) ;
b) R
3
→ R
3
(x, y, z) → (x − y, y − z, z − x);
c) C → C
z
→ z + iz ;
d) R 3 [X ] → R 3 [X ] P
→ P − (X +1)P
.
7 Compléter en une base de R
4
la famille:
e 1 =(1, 1, 1, 1) e 2 = (1, 1, −1, −1).
8 Déterminer le rangdes familles suivantes de R
4
:
a) x 1 = (1, 1, 0, 1)
x 2 = (1, −1, 1, 0)
x 3 = (2, 0, 1, 1)
x 4 = (0, −2, 1, −1)
b) x 1 = (0, 1, 1, 1)
x 2 = (1, 0, 1, 1)
x 3 = (1, 1, 0, 1)
x 4 = (1, 1, 1, 0)
c) x 1 = (0, 1, 0, 1)
x 2 = (1, −1, 1, −1)
x 3 = (1, −1, −1, 1) x 4 = (1, 1, 1, 1)
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1 Vraioufaux ?
a) Une famille de vecteurs est libre si et seulement si ses
éléments ne sont pas colinéaires deux àdeux.
b) Une famille (x i )e st liée si :
n
i=1
α i x i = 0 ⇒ (α 1 , α 2 , ··· ,α n ) = (0, 0, ··· ,0)
c) Une famille est liée si et seulement si chacun de seséléments estcombinaison linéaire des autres.
d) Une famille génératrice finie ne peut avoir moins d’éléments qu’une famille libre.
e) Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille
de strictement plus de n éléments estliée.
f) Dansunespace vectoriel de dimension n, toute famille
de moinsde n éléments est libre.
g) Dansunespace vectoriel de dimension n, toute famille
de n éléments est une base.
h) Si F et G sont deux s.e.v. supplémentaires dans E,
dim F +dim G = dim E.
i) Toute ndomorphisme injectif d’un espace vectoriel de
dimensionfinie est un automorphisme.
j) Pour tout endomorphisme f de E, Im f et Ker f
sont supplémentaires.
Familles libres ou liées
2 Les famillessuivantes de R
3
sont-elles libres ou liées ?
a) x 1 = (1, 1, 0)
x 2 = (0, 1, 1)
b) x 1 = (0, 0, 1)
x 2 = (0, 1, 1)
x 3 = (1, 1, 1)
c) x 1 = (0, 1, −1) x 2 = (1, 0, −1) x 3 = (1, −1, 0)
d) x 1 = (1, 1, −1) x 2 = (1, −1, 1) x 3 = (−1, 1, 1)
x 4 = (1, 1, 1)
3 Lesfamilles suivantes de R
R
sont-elles libres ou liées ?
a) f 1 : x
→ cos xf 2 : x → sin xf 3 : x → 1;
b) f 1 : x → cos
2
xf 2 : x → cos 2xf 3 : x → 1;
c) f i : x
→ e
λi x
(λ 1 , ··· ,λ n )étant n réels distinctsdeux àdeux ;
d) f k : x
→ sin kx k ∈ [[ 1 , n ]] .
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∗ 1) Soit E un K-e.v. et f un endomorphisme
non nul de E telq ue, pour tout x ∈ E, x et f (x)
soient colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe λ x ∈ K telq ue
f (x) = λ x x.
Démontrer que f est une homothétievectorielle.
2) En déduire l’ensemble des endomorphismes de E qui
commutent avec tout endomorphismede E.
Bases et dimension
5 Déterminer la dimensiond es espaces vectoriels suivants:
a) { (x, y, z) ∈ R
3
, x − 2y +3z=0};
b) { (x, y, z) ∈ R
3
, x = 2y = 3z } ;
c)
{ (x, y, z, t) ∈ R
4
, x + y = 0; y+z=0;
z+t=0; t+x=0};
d) { P ∈ R 4 [X ] , P(1) = 0 } ;
e) ensemble dessuites arithmétiques ;
f) ensemble des fonctions dont la dérivéeseconde est nulle ;
g) ensemble des solutions de l’équation différentielle
y
+4y=0.
6 Déterminer une base de l’image et une base du noyau
des applications linéaires suivantes :
a) R
2
→ R
3
(x, y)
→ (x − y, y − x, 0) ;
b) R
3
→ R
3
(x, y, z) → (x − y, y − z, z − x);
c) C → C
z
→ z + iz ;
d) R 3 [X ] → R 3 [X ] P
→ P − (X +1)P
.
7 Compléter en une base de R
4
la famille:
e 1 =(1, 1, 1, 1) e 2 = (1, 1, −1, −1).
8 Déterminer le rangdes familles suivantes de R
4
:
a) x 1 = (1, 1, 0, 1)
x 2 = (1, −1, 1, 0)
x 3 = (2, 0, 1, 1)
x 4 = (0, −2, 1, −1)
b) x 1 = (0, 1, 1, 1)
x 2 = (1, 0, 1, 1)
x 3 = (1, 1, 0, 1)
x 4 = (1, 1, 1, 0)
c) x 1 = (0, 1, 0, 1)
x 2 = (1, −1, 1, −1)
x 3 = (1, −1, −1, 1) x 4 = (1, 1, 1, 1)
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