Dimension des espaces vectoriels
APPLICATION 2
Utilisation du théorème du rang
Soit Eu n K -e.v. de dimension ne tu,vdeux
endomorphismes de Et els que:
E =Im u +Imv=Ker u +Ker v
Démontrer quec es sommes sont directes.
dim (Im u +Imv) =dim Im u +dim Im v
− dim (Im u ∩ Im v) = dim E.
dim(Ker u +Ker v) = dimKer u +dim Ker v
− dim(Ker u ∩ Ker v) = dim E.
En ajoutant membre àmembre, on obtient :
(dimImu+dim Ker u)+(dim Im v +dim Ker v)
−dim (Im u ∩ Im v) − dim(Ker u ∩ Ker v) = 2dim E.
Or, d’aprèslethéorème du rang :
dim Im u +dim Ker u = dim Im v +dim Ker v
= dim E.
Il reste donc :
−dim (Im u ∩ Im v) − dim(Ker u ∩ Ker v) = 0;
d’où :
dim (Im u ∩ Im v) = 0e td im (Ker u ∩ Ker v) = 0.
On adonc bien :
Im u ∩ Im v = Ker u ∩ Ker v = {0}.
Donc
E = Im u ⊕ Im v = Ker u ⊕ Ker v.
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une famillefinie de vecteurs d’un e.v. E est libre,onpeut:
• écrire une combinaison linéaire des éléments de cette famille qui s’annule et démontrer que tous les coefficients
sontnuls (cf. Application 1 et exercices 2 et 3) ;
• supposer que l’undes éléments de cette famille est combinaison linéaire des autres et aboutir àune contradiction.
Pour montrer qu’une famille de vecteurs d’un e.v. E est génératrice,onmontre que tout élément de E est
combinaison linéaire des éléments de cette famille.
Pour montrer qu’une famille de vecteurs b d’un e.v. E estune base :
• si on ne connaît pas la dimension de E, il suffit de montrer que b estlibre et génératrice ;
• si on sait que E estdedimension finie n, il suffit de montrerque b possède n éléments et qu’elleest libre
(ou qu’ellepossède n éléments et qu’elleest génératrice) (cf. Exercice résolu).
Pour construire unebase d’un e.v. de dimension finie,onpeut:
• compléter une famille libre àl’aide du théorème de la base incomplète (cf. exercice 7) ;
• en particulier, compléter une base d’un sous-espace vectoriel ;
• retirer d’une famille génératrice finie, un élément qui est combinaison linéaire des autres, et recommencer
jusqu’à obtenir une famillelibre (cf. exercices 5 et 6) ;
• réunir des basesdedeux s.e.v. supplémentaires.
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