Dimension des espaces vectoriels
Pour raisonnersur les dimensions de sous-espaces vectoriels F et G d’un e.v. de dimensionfinie E, on
utiliseles relations :
• F ⊂ G ⇒ dim F dim G
• dim(F + G) = dim F +dim G − dim(F ∩ G)
• dim(F ⊕ G) = dim F +dim G
Pourraisonner sur des applications linéaires entre deux e.v. E et F , où E est de dimension finie, l’outil
essentielest le théorème du rang :
dim Im f +dim Ker f = dim E
(cf.exercices 9, 10 et 14).
Pour montrer qu’une application linéaire f entre deux e.v. E et F de dimension finie est un isomorphisme, il suffit de montrer qu’elle est injective (Ker f = {0}), et que dim E = dim F .
...................................................................................................................................................................................................
Exercice résolu
MÉTHODEDES DIFFÉRENCES FINIES
Soit Δ l’applicationde R[X] dans lui-même :P → ΔP = P(X +1)−P(X).
1 Montrer que Δ estunendomorphisme de l’e.v. R[X ].
2 Déterminer le noyau de Δ.
3 Montrerque : ∀n 1 Δ(R n [X ]) = R n−1 [X ]. En déduire Im Δ.
4 Soit Fl ’ensemble despolynômes Pd eR [ X ]tels que P(0) = 0.
a) Montrer queF est un s.e.v. de R[X ] supplémentaire de Ker Δ.
b) Montrerque la restriction Δ F de Δ àF est un isomorphisme d’e.v. de Fs ur R[X ].
5 a) Montrerq u’il existe une suite (N n ) n∈N , et unes eule, d’éléments de R[X ] telle que N 0 = 1 et, pour tout
n ∈ N
∗
: N n (0) = 0; Δ N n = N n − 1 .
b) Montrer que ∀n ∈ N
∗
N n (X ) =
X (X − 1) ···(X −n+1)
n!
.
c) Montrerque (N 0 , N 1 , ··· ,N n ) est unebase de R n [X ].
6 Soit Q ∈ R n [X ].
a) Montrer que les coordonnées de Qd ans la base (N 0 , N 1 , ··· ,N n ) sont :
(Q(0), ΔQ(0), Δ
2
Q(0), ··· ,Δ
n
Q(0))
b) Application :Déterminer l’unique polynôme Qd eR 3 [ X ]tel que:
Q(0) = 1 , Q(1) = 2 , Q(2) = −1 , Q(3) = −2
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
391