Dimension des espaces vectoriels
COURS
21
La conséquencesuivante estimmédiate, mais très utile dans la pratique :
Corollaire9.1
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie,e ts i
dim E = dim F , une application linéaire f de E dans F est bijective si
et seulement si elleest injective ou surjective.
En particulier, un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est
inversible si et seulement s’il est inversible àgauche ou inversible àdroite.
IMPORTANT
On retrouve ici l’analogie entre ensembles finis et espacesv ectoriels de
dimension finie.
Parailleurs, une condition nécessaire pour qu’il existe un isomorphisme entre E
et F est qu’ils aient même dimension. Cette condition est suffisante puisqu’elle
permet de construire un isomorphisme en faisantcorrespondre àune base b de
E une base quelconque de F . On peut donc énoncer :
Corollaire 9.2
Deux K-espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement
s’ils ontmême dimension.
5.3 • Théorème du rang
Le résultat suivant, très importantdans la pratique, relie les dimensions de l’image
et du noyau d’une application linéaire :
Théorème 10 (théorème du rang)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un K-espace vectoriel
quelconque. Soit f uneapplication linéaire de E dans F .
1) Im f est isomorpheàtout supplémentaire de Ker f dans E.
2) dim Ker f +dim Im f = dim E.
Démonstration
1) Soit G un supplémentaire de Ker f dans E, et g la restriction de
f à G comme ensemble de départ et Im f comme ensemble d’arrivée.
Ker g = G ∩ Ker f = {0}, donc g est injective.
Im g ⊂ Im f . Réciproquement, soit y ∈ Im f , ce qui signifie que
∃x ∈ Ey = f ( x ) . Comme E = G ⊕ Ker f , x = x 1 + x 2 , avec
x 1 ∈ G et x 2 ∈ Ker f .
f (x) = f (x 1 )+f(x 2 ).
f(x 2 ) = 0, donc y = f (x 1 ) = g(x 1 ); d’où y ∈ Im g. Donc
Im f ⊂ Im g. En définitive Im g = Im f , donc gest surjective.
g est donc un isomorphismede G dans Im f .
2) On en déduit qued im G = dimImf.
Or dim G = dim E − dimKer f .
On abien dim E = dimKer f +dim Im f .
Pour s’entraîner :ex. 9et10
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
389
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La conséquencesuivante estimmédiate, mais très utile dans la pratique :
Corollaire9.1
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie,e ts i
dim E = dim F , une application linéaire f de E dans F est bijective si
et seulement si elleest injective ou surjective.
En particulier, un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est
inversible si et seulement s’il est inversible àgauche ou inversible àdroite.
IMPORTANT
On retrouve ici l’analogie entre ensembles finis et espacesv ectoriels de
dimension finie.
Parailleurs, une condition nécessaire pour qu’il existe un isomorphisme entre E
et F est qu’ils aient même dimension. Cette condition est suffisante puisqu’elle
permet de construire un isomorphisme en faisantcorrespondre àune base b de
E une base quelconque de F . On peut donc énoncer :
Corollaire 9.2
Deux K-espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement
s’ils ontmême dimension.
5.3 • Théorème du rang
Le résultat suivant, très importantdans la pratique, relie les dimensions de l’image
et du noyau d’une application linéaire :
Théorème 10 (théorème du rang)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un K-espace vectoriel
quelconque. Soit f uneapplication linéaire de E dans F .
1) Im f est isomorpheàtout supplémentaire de Ker f dans E.
2) dim Ker f +dim Im f = dim E.
Démonstration
1) Soit G un supplémentaire de Ker f dans E, et g la restriction de
f à G comme ensemble de départ et Im f comme ensemble d’arrivée.
Ker g = G ∩ Ker f = {0}, donc g est injective.
Im g ⊂ Im f . Réciproquement, soit y ∈ Im f , ce qui signifie que
∃x ∈ Ey = f ( x ) . Comme E = G ⊕ Ker f , x = x 1 + x 2 , avec
x 1 ∈ G et x 2 ∈ Ker f .
f (x) = f (x 1 )+f(x 2 ).
f(x 2 ) = 0, donc y = f (x 1 ) = g(x 1 ); d’où y ∈ Im g. Donc
Im f ⊂ Im g. En définitive Im g = Im f , donc gest surjective.
g est donc un isomorphismede G dans Im f .
2) On en déduit qued im G = dimImf.
Or dim G = dim E − dimKer f .
On abien dim E = dimKer f +dim Im f .
Pour s’entraîner :ex. 9et10
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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