COURS 21
Dimension des espaces vectoriels
Théorème 8
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionf inie p muni d’uneb ase
b = (e 1 , ··· ,e p )e t F un K-espacevectoriel quelconque.
Pourtoute famille (y 1 , ··· ,y p )d epéléments de F , il existe uneapplication
linéaire f de E dans F , et uneseule, telle que :
∀i ∈ [[ 1 , p ]] f ( e i ) = y i
Démonstration
Si f existe,elle associe nécessairement au vecteur x = ξ 1 e 1 + ···+ξ p e p de E, le
vecteur f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ p f (e p ) = ξ 1 y 1 +···+ξ p y p .
Réciproquement, on vérifie que l’application ainsi définie est bien linéaire.
5.2 • Rang d’uneapplication linéaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionf inie p muni d’uneb ase b avec
b = (e 1 , ··· ,e p )e tF un K-espace vectoriel quelconque. Soit f ∈L ( E ,F ) .
On appelle rang de f le rang de la famille (f (e 1 ), ··· ,f (e p )), quie st aussi la
dimension de Im f .
Théorème 9
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie p muni d’uneb ase
b = (e 1 , ··· ,e p )e t F un K-espacevectoriel de dimension finie n.
Soit f ∈L(E,F):
1) f est injective
⇔ f (b)est libre dans F
⇔ rg f = p
2) f estsurjective ⇔ f (b)est génératrice de F ⇔ rg f = n
3) f est bijective
⇔ f (b)est une base de F
⇔ rg f = p = n
Démonstration
1) Supposons f injective,etconsidérons une combinaison linéaire des f (e i )q ui
s’annule : α 1 f (e 1 )+···+α p f (e p ) = 0. f étant linéaire, f (α 1 e 1 + ···+α p e p ) = 0,
et, comme Ker f = {0} , α 1 e 1 + ··· + α p e p = 0. La famille (e 1 , ··· ,e p )
étant libre, on en déduit que α 1 = ··· = α p = 0; c’est-à-dire que la famille
(f (e 1 ), ··· ,f (e p )) est libre. Son rang est donc p.
Réciproquement, si (f (e 1 ), ··· ,f (e p )) est libre, soit x un élémentdeK er f .
Décomposons x sur la base b :
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ p e p .
f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ p f (e p ) = 0.
D’où ξ 1 = ··· = ξ p = 0e tx = 0 . On en déduit que Ker f = {0},
c’est-à-dire que f est injective.
2) La famille( f ( e 1 ) , ··· ,f (e p )) engendre Im f . Donc f est surjective si et
seulement si elle engendre F toutentier. Son rang est alors n.
3) f est bijective si elle est àlafois injective et surjective.
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Dimension des espaces vectoriels
Théorème 8
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionf inie p muni d’uneb ase
b = (e 1 , ··· ,e p )e t F un K-espacevectoriel quelconque.
Pourtoute famille (y 1 , ··· ,y p )d epéléments de F , il existe uneapplication
linéaire f de E dans F , et uneseule, telle que :
∀i ∈ [[ 1 , p ]] f ( e i ) = y i
Démonstration
Si f existe,elle associe nécessairement au vecteur x = ξ 1 e 1 + ···+ξ p e p de E, le
vecteur f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ p f (e p ) = ξ 1 y 1 +···+ξ p y p .
Réciproquement, on vérifie que l’application ainsi définie est bien linéaire.
5.2 • Rang d’uneapplication linéaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionf inie p muni d’uneb ase b avec
b = (e 1 , ··· ,e p )e tF un K-espace vectoriel quelconque. Soit f ∈L ( E ,F ) .
On appelle rang de f le rang de la famille (f (e 1 ), ··· ,f (e p )), quie st aussi la
dimension de Im f .
Théorème 9
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie p muni d’uneb ase
b = (e 1 , ··· ,e p )e t F un K-espacevectoriel de dimension finie n.
Soit f ∈L(E,F):
1) f est injective
⇔ f (b)est libre dans F
⇔ rg f = p
2) f estsurjective ⇔ f (b)est génératrice de F ⇔ rg f = n
3) f est bijective
⇔ f (b)est une base de F
⇔ rg f = p = n
Démonstration
1) Supposons f injective,etconsidérons une combinaison linéaire des f (e i )q ui
s’annule : α 1 f (e 1 )+···+α p f (e p ) = 0. f étant linéaire, f (α 1 e 1 + ···+α p e p ) = 0,
et, comme Ker f = {0} , α 1 e 1 + ··· + α p e p = 0. La famille (e 1 , ··· ,e p )
étant libre, on en déduit que α 1 = ··· = α p = 0; c’est-à-dire que la famille
(f (e 1 ), ··· ,f (e p )) est libre. Son rang est donc p.
Réciproquement, si (f (e 1 ), ··· ,f (e p )) est libre, soit x un élémentdeK er f .
Décomposons x sur la base b :
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ p e p .
f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ p f (e p ) = 0.
D’où ξ 1 = ··· = ξ p = 0e tx = 0 . On en déduit que Ker f = {0},
c’est-à-dire que f est injective.
2) La famille( f ( e 1 ) , ··· ,f (e p )) engendre Im f . Donc f est surjective si et
seulement si elle engendre F toutentier. Son rang est alors n.
3) f est bijective si elle est àlafois injective et surjective.
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