Dimension des espaces vectoriels
COURS
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Ce théorème démontre en même tempsq ue tout sous-espace vectoriel F d’un
espacevectoriel E de dimension finie possèdedes supplémentaires :les vecteurs
utilisés dans le théorème de la base incomplète pourprolonger une base de F en
une basede E engendrent un supplémentaire de E.
IMPORTANT
On peut démontrer quedans tout espacevectoriel, tout sous-espace vectorielpossède des supplémentaires ;mais
c’estbeaucoup plus difficile.
4.4 • Dimension d’une somme de s.e.v.
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Si la somme
F + G est directe, le théorème précédent permet d’écrire :
dim(F⊕G)=dim F +dim G
Dans le casgénéral, on cherche àseramener àcette situation :
Théorème 7
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionf inie, F et G deux sous-espaces
vectoriels de E.
dim(F+G)=dim F +dim G − dim (F ∩ G)
IMPORTANT
On remarquera l’analogie avec les cardinaux des ensembles finis.
Démonstration
Soit F
un supplémentaire de F ∩ G dans F . Montrons que F + G = F
⊕ G.
Il estclair que F
+ G ⊂ F + G. De plus :
∀x ∈ F + G ∃(y, z) ∈ F × Gx = y + z
et ∃(y
, y
) ∈ F
× (F ∩ G) y = y
+ y
d’où x = y
+ y
+ z avec y
∈ F
et y
+ z ∈ G. Donc x ∈ F
+ G.
D’où F + G = F
+ G.
Or F
∩ G ⊂ F
∩ (F ∩ G) , donc F
∩ G = {0}.
La somme F
+ G estdonc directe.
De F + G = F
⊕ G, on déduit dim (F + G) = dim F
+dim G.
Or dim F
= dim F − dim (F ∩ G);
d’où dim (F + G) = dim F +dim G − dim (F ∩ G).
5 Applications linéairesendimension
finie
5.1 • Image d’une base
Montrons qu’en dimension finie,u ne application linéaire est entièrement
déterminée par l’image d’unebase.
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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