COURS 21
Dimension des espaces vectoriels
IMPORTANT
Plus généralement,s i F et G sont
deux sous-espaces vectoriels de E, de
dimensionf inie, tels que F ⊂ G et
dim F = dim G, alors F = G.
Cette propriété estt rès utile dans
les exercices,c ar elle permet d’éviter
d’avoir àdémontrer l’autre inclusion,
parfoisdifficile.
Démonstration
Posons n = dim E. Les familles libres de F sontdes familles libres de E;e lles
ont donc au plus n éléments.L’ensemble des cardinaux des familles libres de F
estune partie non vide de N majoréepar n ;i ladmet donc un plus grand élément
p. Commedans la première partie du théorème 3, on en déduit l’existence d’une
base de F à p éléments.Donc dim F = p et dim F dim E.
Si dim F = dim E, une base de F est une famille librede E à n éléments :
c’est aussi une base de E, et F = E.
4.2 • Rang d’une famille de vecteurs
Soit E un espace vectorield ed imension n. On appelle rang d’une famille
(x 1 , ··· ,x p )d epvecteurs de E, la dimension du sous-espace vectoriel engendré
par cette famille. On adonc :
• rg (x 1 , ··· ,x p ) p, car (x 1 , ··· ,x p )e st génératrice de Vect(x 1 , ··· ,x p ).
• rg (x 1 , ··· ,x p ) n, car Vect(x 1 , ··· ,x p )e st un sous-espace vectoriel de E.
• D’où rg (x 1 , ··· ,x p ) min(p, n).
• rg (x 1 , ··· ,x p ) = p ⇐⇒ ( x 1 , ··· ,x p )e st libre.
• rg (x 1 , ··· ,x p ) = n ⇐⇒ ( x 1 , ··· ,x p )e st génératrice de E.
Pours’entraîner :ex. 8
4.3 • Dimensions de deux s.e.v. supplémentaires
Théorème 6
Soit E un espace vectorieldedimension finie. Deux sous-espaces vectoriels F
et G de E sont supplémentaires si et seulement si :
dim F +dim G = dim E et F ∩ G = {0}
Démonstration
Soit (f 1 , ··· ,f p )u ne base de F et (g 1 , ··· ,g q )u ne base de G.
1) Supposons F et G supplémentaires. Alors F ∩ G = {0}.
Comme E = F + G, la famille (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st génératrice de E.
Montrons qu’elle est libre. Si α 1 f 1 + ··· +α p f p + β 1 g 1 + ··· + β q g q = 0, on en
déduit : α 1 f 1 + ···+α p f p = −β 1 g 1 −···−β q g q
qui appartient donc à F et à
G.
Comme F ∩ G = {0}, on adonc α 1 f 1 + ···+α p f p = 0e t, puisque (f 1 , ··· ,f p )
est libre, α 1 = ··· = α p = 0; de même, β 1 g 1 + ··· + β q g q = 0; d’où
β 1 = ··· = β q = 0. En définitive, (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st une base de E ;
d’où dim E = p + q = dim F +dim G.
2) Réciproquement, supposons que dim F +dim G = dim E et F ∩ G = {0}.
On montre, comme ci-dessus, que la famille (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st libre. Son
cardinal est p + q, c’est-à-dire dim E. C’est donc une base de E. Toutélément
de E se décomposes ur cette base et par conséquent E = F + G. Comme
F ∩ G = {0}, cette somme est directe. F et G sont donc supplémentaires.
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Dimension des espaces vectoriels
IMPORTANT
Plus généralement,s i F et G sont
deux sous-espaces vectoriels de E, de
dimensionf inie, tels que F ⊂ G et
dim F = dim G, alors F = G.
Cette propriété estt rès utile dans
les exercices,c ar elle permet d’éviter
d’avoir àdémontrer l’autre inclusion,
parfoisdifficile.
Démonstration
Posons n = dim E. Les familles libres de F sontdes familles libres de E;e lles
ont donc au plus n éléments.L’ensemble des cardinaux des familles libres de F
estune partie non vide de N majoréepar n ;i ladmet donc un plus grand élément
p. Commedans la première partie du théorème 3, on en déduit l’existence d’une
base de F à p éléments.Donc dim F = p et dim F dim E.
Si dim F = dim E, une base de F est une famille librede E à n éléments :
c’est aussi une base de E, et F = E.
4.2 • Rang d’une famille de vecteurs
Soit E un espace vectorield ed imension n. On appelle rang d’une famille
(x 1 , ··· ,x p )d epvecteurs de E, la dimension du sous-espace vectoriel engendré
par cette famille. On adonc :
• rg (x 1 , ··· ,x p ) p, car (x 1 , ··· ,x p )e st génératrice de Vect(x 1 , ··· ,x p ).
• rg (x 1 , ··· ,x p ) n, car Vect(x 1 , ··· ,x p )e st un sous-espace vectoriel de E.
• D’où rg (x 1 , ··· ,x p ) min(p, n).
• rg (x 1 , ··· ,x p ) = p ⇐⇒ ( x 1 , ··· ,x p )e st libre.
• rg (x 1 , ··· ,x p ) = n ⇐⇒ ( x 1 , ··· ,x p )e st génératrice de E.
Pours’entraîner :ex. 8
4.3 • Dimensions de deux s.e.v. supplémentaires
Théorème 6
Soit E un espace vectorieldedimension finie. Deux sous-espaces vectoriels F
et G de E sont supplémentaires si et seulement si :
dim F +dim G = dim E et F ∩ G = {0}
Démonstration
Soit (f 1 , ··· ,f p )u ne base de F et (g 1 , ··· ,g q )u ne base de G.
1) Supposons F et G supplémentaires. Alors F ∩ G = {0}.
Comme E = F + G, la famille (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st génératrice de E.
Montrons qu’elle est libre. Si α 1 f 1 + ··· +α p f p + β 1 g 1 + ··· + β q g q = 0, on en
déduit : α 1 f 1 + ···+α p f p = −β 1 g 1 −···−β q g q
qui appartient donc à F et à
G.
Comme F ∩ G = {0}, on adonc α 1 f 1 + ···+α p f p = 0e t, puisque (f 1 , ··· ,f p )
est libre, α 1 = ··· = α p = 0; de même, β 1 g 1 + ··· + β q g q = 0; d’où
β 1 = ··· = β q = 0. En définitive, (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st une base de E ;
d’où dim E = p + q = dim F +dim G.
2) Réciproquement, supposons que dim F +dim G = dim E et F ∩ G = {0}.
On montre, comme ci-dessus, que la famille (f 1 , ··· ,f p ,g 1 ,··· ,g q )e st libre. Son
cardinal est p + q, c’est-à-dire dim E. C’est donc une base de E. Toutélément
de E se décomposes ur cette base et par conséquent E = F + G. Comme
F ∩ G = {0}, cette somme est directe. F et G sont donc supplémentaires.
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