Dimension des espaces vectoriels
COURS
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Supposons qu’il existe une autre décomposition : x = ξ
1 e 1 + ··· + ξ
n e n avec
(ξ
1 , ··· ,ξ
n ) ∈ K
n
. On aurait alors :( ξ 1 − ξ
1 ) e 1 + ···+(ξ n −ξ
n )e n = 0. Comme
b estlibre, cela entraîne ξ 1 − ξ
1 = ··· = ξ n −ξ
n = 0.
La décomposition de x sur b estdonc unique.
Lesscalaires ξ 1 , ··· ,ξ n s’appellent coordonnées de x dans la base b (Doc. 1).
e 1
e 3
x
e 2
ξ e 2
2
ξ e 1
1
ξ e 3
3
Doc. 1 Coordonnées d’un vecteur x
dans la base (e1, e2, e3).
Exemples de basesetdecoordonnées :
1) Dans K
n
, la famille (e 1 , ··· ,e n )d éfinie par :
e 1 = (1, 0, 0, ··· ,0) e 2 = (0, 1, 0, ··· ,0) ··· e n = (0, 0, 0, ··· ,1)
est une base, appelée base canonique de K
n
. dim K
n
= n.
Les coordonnées de (a 1 , ··· ,a n )d ans cette base sont les scalaires
a 1 , ··· ,a n .
2) Dans K n [X ], la famille :
(1, X , X
2
, ··· ,X
n
)
est une base, appelée base canonique de K n [X ]. dim K n [X ] = n +1.
Les coordonnées d’un polynôme dans cette base sont ses coefficients.
3) Si E et F sont deux K-espaces vectoriels munis de bases (e 1 , ··· ,e p )e t
( f 1 , ··· ,f n ), la famille :
(e i , 0) i∈[[ 1 , p ]] , (0, f j ) j∈[[ 1 , n ]]
de cardinal p + n ,est une base de l’espace vectoriel produit E × F .
dim E × F = dim E +dim F
Lescoordonnées de (x, y)d ans cette base sont celles de x suivies de celles de y.
4 Sous-espaces vectoriels en dimension
finie
4.1 • Dimension d’unsous-espace vectoriel
Théorème 5
Soit E un K-espace vectoriel de dimensionfinie.
Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et :
dim F dim E
Si
dim F = dim E , alors F = E.
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