COURS 21
Dimension des espaces vectoriels
Théorème 4
Si dim E = n :
1) toute famille libre aauplus n éléments ;
2) toute famille libre à n éléments est une base ;
3) toute famille génératrice aaumoins n éléments ;
4) toute famille génératrice à n éléments est une base.
Démonstration
Soit b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base de E.
1) b étant génératrice, une famille libre ne peut avoir plus de n éléments.
2) On amontré, dans la preuve du théorème 3, qu’une famillelibre à n éléments
étaitnécessairement une base.
3) b étant libre, une famille génératrice aaumoins n éléments.
4) Supposons n 2. Soit (g 1 , ··· ,g n )u ne famille génératrice à n éléments.
Si elleé tait liée, l’un des g i serait combinaisonl inéaire des autres qui formeraient donc une famille génératrice à n − 1é léments, ce qui est impossible. Par
conséquent, la famille (g 1 , ··· ,g n )e st libre, c’est donc une base.
Si n = 0o un=1 ,le résultat est immédiat.
Corollaire4.1
Toutefamille génératrice contient une base.
Toute famille libre peut être prolongée en une base.
Ce dernierrésultat est connu sous le nom de théorème de la base incomplète.
Démonstration
Soit E un espace vectoriel de dimension n 1.
Une familleg énératrice aa um oins n éléments ;s ic ette famille est liée, l’un au
moins de ses éléments estcombinaison linéaire des autres :onpeut le retirer sans
nuirea uc aractère générateur de la famille. On peut ainsi retirer des éléments
jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus que n ;o naalors une base.
Une famille libre aa up lus n éléments ;s ic ette famille n’est pasg énératrice, il
existe au moinsunélément de E qui n’est pas combinaison linéaire des éléments
de cette famille :onpeut l’adjoindre àlafamille sans nuire àsaliberté. On peut
ainsi compléter la famille jusqu’à ce qu’elle ait n éléments ;onobtient alors une
base.
Pours’entraîner :ex. 5à7
3.2• Coordonnées d’un vecteur dans une base
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, et b = (e 1 , ··· ,e n )u ne
base de E. b étant génératrice, tout vecteur x de E s’écritsous la forme :
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ n e n avec (ξ 1 , ··· ,ξ n ) ∈ K
n
384
Dimension des espaces vectoriels
Théorème 4
Si dim E = n :
1) toute famille libre aauplus n éléments ;
2) toute famille libre à n éléments est une base ;
3) toute famille génératrice aaumoins n éléments ;
4) toute famille génératrice à n éléments est une base.
Démonstration
Soit b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base de E.
1) b étant génératrice, une famille libre ne peut avoir plus de n éléments.
2) On amontré, dans la preuve du théorème 3, qu’une famillelibre à n éléments
étaitnécessairement une base.
3) b étant libre, une famille génératrice aaumoins n éléments.
4) Supposons n 2. Soit (g 1 , ··· ,g n )u ne famille génératrice à n éléments.
Si elleé tait liée, l’un des g i serait combinaisonl inéaire des autres qui formeraient donc une famille génératrice à n − 1é léments, ce qui est impossible. Par
conséquent, la famille (g 1 , ··· ,g n )e st libre, c’est donc une base.
Si n = 0o un=1 ,le résultat est immédiat.
Corollaire4.1
Toutefamille génératrice contient une base.
Toute famille libre peut être prolongée en une base.
Ce dernierrésultat est connu sous le nom de théorème de la base incomplète.
Démonstration
Soit E un espace vectoriel de dimension n 1.
Une familleg énératrice aa um oins n éléments ;s ic ette famille est liée, l’un au
moins de ses éléments estcombinaison linéaire des autres :onpeut le retirer sans
nuirea uc aractère générateur de la famille. On peut ainsi retirer des éléments
jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus que n ;o naalors une base.
Une famille libre aa up lus n éléments ;s ic ette famille n’est pasg énératrice, il
existe au moinsunélément de E qui n’est pas combinaison linéaire des éléments
de cette famille :onpeut l’adjoindre àlafamille sans nuire àsaliberté. On peut
ainsi compléter la famille jusqu’à ce qu’elle ait n éléments ;onobtient alors une
base.
Pours’entraîner :ex. 5à7
3.2• Coordonnées d’un vecteur dans une base
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, et b = (e 1 , ··· ,e n )u ne
base de E. b étant génératrice, tout vecteur x de E s’écritsous la forme :
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ n e n avec (ξ 1 , ··· ,ξ n ) ∈ K
n
384