Dimension des espaces vectoriels
COURS
21
Raisonnant parr écurrence, supposons que l’on puisse ainsi remplacer g i par l i
jusqu’à l’indice k (k < m)e nconservant le caractère générateur de la famille,
et vérifions qu’on peut encore le faire àl’indice k +1.
(l 1 ,··· ,l k ,g k+1 , ··· ,g m )é tant génératrice, on peut écrire :
l k+1 = α 1 l 1 + ···+α k l k +α k+1 g k+1 + ···+α m g m
La famille (l 1 , ··· ,l k+1 )é tant libre, les coefficients α k+1 , ··· , α m ne sont pas
tous nuls.Q uitte àe ffectuer une permutation d’indices, on peut supposer que
α k+1
= 0; d’où :
g k+1 = −
α 1
α k+1
l 1 −···−
α k
α k+1
l k +
1
α k+1
l k+1 −
α k+2
α k+1
g k+2 −···−
α m
α k+1
g m
Toute combinaison linéaire de (l 1 , ··· ,l k ,g k+1 , ··· ,g m )e st donc combinaison
linéaire de (l 1 , ··· ,l k+1 , g k+2 , ··· ,g m )q ui est, par conséquent, génératrice.
Par récurrence, on peut donc conclure que (l 1 , ··· ,l m )e st génératrice. On en
déduit alors que l m+1 estc ombinaison linéaire des l i de i = 1àm,c eq ui
contredit la liberté de la famille (l 1 ,.., l m+1 ).
Conclusion : S’il existe unefamille génératrice à m éléments, une famille libre ne
peut avoir plus de m éléments.
3 Basesd’un e.v. de dimension finie
3.1 • Définitionetcaractérisation
On appelle base d’un espace vectoriel E unefamille àlafois libre et génératrice.
Le théorème 3permet d’étudier les bases des espaces vectoriels de dimension finie :
IMPORTANT
On peut démontrer quet out espace
vectoriel, même de dimensioninfinie,
possèdedes bases, mais c’est beaucoup
plusdifficile.
Théorème 3
1) Tout espace vectorieldedimension finie possède des bases.
2) Toutes lesb ases d’un espace vectoriel E de dimensionf inie ont le même
nombre d’éléments, appelé dimensionde E et noté dim E.
Démonstration
1) Soit E un K-espace vectoriel possédantune famille génératrice à m éléments.
L’ensemble L des cardinaux des familles libres de E est une partie de N non
vide (elle contient 0, car ∅ estl ibre) et majoréep ar m. L ad onc un plus
grand élément n. Soit (e 1 , ··· ,e n )u ne famille libre à n éléments. Pour tout x
de E, la famille( e 1 , ··· ,e n ,x)e st liée. Il existe donc une combinaison linéaire
nulle : α 1 e 1 + ···+α n e n +βx = 0, avec au moins un coefficient non nul. Comme
(e 1 , ··· ,e n )e st libre, β est nécessairement non nul. x estd onc combinaison
linéaire des e i :l afamille (e 1 , ··· ,e n )e st génératrice ;c’est une base de E.
2) Supposons l’existence de deux bases b = (e 1 , ··· ,e n )e tb
=( e
1 , ··· ,e
p ).
Comme b est libre et b
génératrice, n p. Comme b
est libre et b génératrice, p n;d ’où n = p. Le cardinal d’une base estdonc une caractéristique
de l’espace vectoriel E, que l’on appelle sa dimension.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Raisonnant parr écurrence, supposons que l’on puisse ainsi remplacer g i par l i
jusqu’à l’indice k (k < m)e nconservant le caractère générateur de la famille,
et vérifions qu’on peut encore le faire àl’indice k +1.
(l 1 ,··· ,l k ,g k+1 , ··· ,g m )é tant génératrice, on peut écrire :
l k+1 = α 1 l 1 + ···+α k l k +α k+1 g k+1 + ···+α m g m
La famille (l 1 , ··· ,l k+1 )é tant libre, les coefficients α k+1 , ··· , α m ne sont pas
tous nuls.Q uitte àe ffectuer une permutation d’indices, on peut supposer que
α k+1
= 0; d’où :
g k+1 = −
α 1
α k+1
l 1 −···−
α k
α k+1
l k +
1
α k+1
l k+1 −
α k+2
α k+1
g k+2 −···−
α m
α k+1
g m
Toute combinaison linéaire de (l 1 , ··· ,l k ,g k+1 , ··· ,g m )e st donc combinaison
linéaire de (l 1 , ··· ,l k+1 , g k+2 , ··· ,g m )q ui est, par conséquent, génératrice.
Par récurrence, on peut donc conclure que (l 1 , ··· ,l m )e st génératrice. On en
déduit alors que l m+1 estc ombinaison linéaire des l i de i = 1àm,c eq ui
contredit la liberté de la famille (l 1 ,.., l m+1 ).
Conclusion : S’il existe unefamille génératrice à m éléments, une famille libre ne
peut avoir plus de m éléments.
3 Basesd’un e.v. de dimension finie
3.1 • Définitionetcaractérisation
On appelle base d’un espace vectoriel E unefamille àlafois libre et génératrice.
Le théorème 3permet d’étudier les bases des espaces vectoriels de dimension finie :
IMPORTANT
On peut démontrer quet out espace
vectoriel, même de dimensioninfinie,
possèdedes bases, mais c’est beaucoup
plusdifficile.
Théorème 3
1) Tout espace vectorieldedimension finie possède des bases.
2) Toutes lesb ases d’un espace vectoriel E de dimensionf inie ont le même
nombre d’éléments, appelé dimensionde E et noté dim E.
Démonstration
1) Soit E un K-espace vectoriel possédantune famille génératrice à m éléments.
L’ensemble L des cardinaux des familles libres de E est une partie de N non
vide (elle contient 0, car ∅ estl ibre) et majoréep ar m. L ad onc un plus
grand élément n. Soit (e 1 , ··· ,e n )u ne famille libre à n éléments. Pour tout x
de E, la famille( e 1 , ··· ,e n ,x)e st liée. Il existe donc une combinaison linéaire
nulle : α 1 e 1 + ···+α n e n +βx = 0, avec au moins un coefficient non nul. Comme
(e 1 , ··· ,e n )e st libre, β est nécessairement non nul. x estd onc combinaison
linéaire des e i :l afamille (e 1 , ··· ,e n )e st génératrice ;c’est une base de E.
2) Supposons l’existence de deux bases b = (e 1 , ··· ,e n )e tb
=( e
1 , ··· ,e
p ).
Comme b est libre et b
génératrice, n p. Comme b
est libre et b génératrice, p n;d ’où n = p. Le cardinal d’une base estdonc une caractéristique
de l’espace vectoriel E, que l’on appelle sa dimension.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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