COURS 21
Dimension des espaces vectoriels
2 Familles génératrices
2.1 • Définition
Soit E un K-espacev ectoriel. Unef amille (x i ) i∈I d’éléments de E est dite
génératrice si le sous-espace vectoriel qu’elle engendre est E tout entier.
L’espace vectoriel E est dit de dimension finie s’il existe une famille génératrice
finie( x 1 ,x 2 ,··· ,x m ) ∈ E
m
. Tout élément x de E estalors combinaison linéaire
des x i , c’est-à-dire qu’il existe une famille de scalaires (α 1 , α 2 , ··· ,α m ) ∈ K
m
telle que x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + ···+α m x m .
Exemples :
1) La famille (x 1 , x 2 , x 3 )s uivante estgénératrice de R
3
:
x 1 = (1, 1, −1) x 2 = (1, −1, 1) x 3 = (−1, 1, 1)
En effet:
∀(a,b,c)∈R
3
(a,b,c)=
a+b
2
x 1 +
c+a
2
x 2 +
b+c
2
x 3
2) Soit a ∈ K. La famille( 1 ,X−a ,( X−a )
2
,( X−a )
3
)e st génératrice de
K 3 [X ], car tout polynôme P de degré inférieur ou égal à3s’écrit :
P = P(a)+P
(a)(X − a)+
P
(a)
2!
(X − a)
2
+
P
(3)
(a)
3!
(X − a)
3
(formule de Taylor).
3) Remarquons qu’une famille vide est génératrice de {0}, carV ect(∅) = {0}.
2.2 • Propriété fondamentale d’un e.v.dedimension finie
La notion de dimensiond’un espace vectoriel repose sur la propriété suivante :
Théorème 2
Dans un espace vectoriel de dimension finie, une famille libre ne peut avoir plus
d’éléments qu’une famille génératrice.
Démonstration
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et (g 1 , ··· ,g m )u ne familleg énératrice de E. Supposons l’existence d’une famille libre (l 1 , ··· ,l m+1 )
ayant m +1 éléments. Comme (g 1 , ··· ,g m )e st génératrice, on peut écrire :
l 1 = α 1 g 1 + ···+α m g m . l 1 étant non nul, les α i ne sontpas tous nuls. Quitte à
effectuer une permutation d’indices,onpeut supposer que α 1
= 0. On aalors :
g 1 =
1
α 1
l 1 −
α 2
α 1
g 2 −···−
α m
α 1
g m
Toute combinaison linéaire de (g 1 , ··· ,g m )e st donc combinaison linéaire de :
(l 1 , g 2 , ··· ,g m ).
De ce fait, la famille (l 1 , g 2 , ··· ,g m )e st génératrice.
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