Dimension des espaces vectoriels
COURS
21
Démonstration
1) Si la famille (x 1 , ··· ,x p )e st liée, il existe une combinaison linéaire des éléments de la famille qui s’annule avec au moins un coefficient non nul. Soit
α 1 x 1 + ···+α p x p = 0a vec, par exemple, α p
= 0. On peut alors écrire :
x p =
p−1
j=1
−
α j
α p
x j
x p est donc combinaisonlinéaire des (p − 1) autres vecteurs.
2) Si l’un des vecteurs, par exemple x p ,est combinaison linéaire des autres :
x p =
p−1
j=1
β j x j ;o naalors
p−1
j=1
β j x j − x p = 0
ce qui représente une combinaisonl inéaire des éléments de la famille avec un
coefficient égal à −1: la famille est liée.
Exemples :
1) Une famille de deux vecteurs (x, y)e st liée si et seulement s’il existe un scalaire
α tel que y = αx ou x = αy. On dit que x et y sont colinéaires.
2) Toute famille contenant plusieurs fois le même élément est liée.
3) La famille (x, y, x + y)e st liée.
APPLICATION 1
Un exemple important
Dans l’espace vectoriel K[X ], montrerq u’une famille
finie de polynômes nonn uls de degrés tous distincts est
libre.
On peut supposer les polynômes de la famille classés
par degrés strictement croissants. Raisonnons par récurrence sur le nombre n de polynômes de la famille.
• n = 1
Le polynôme P 1 étant nonnul, il forme une famille
libre.
• Soit n ∈ N
∗
tel que la famille de polynômes (P 1 , ··· ,P n ), de degrés strictement croissants, soitl ibre. Soit P n+1 un polynôme tel que
deg(P n+1 ) > deg(P n )e t( α 1 , ··· ,α n+1 )d es scalaires
tels que
n+1
i=1
α i P i = 0. Si α n+1 n’étaitp as nul,
cette somme serait de même degré que P n+1 , donc
α n+1 = 0.
Il reste
n
i=1
α i P i = 0e tc omme la famille
(P 1 , ··· ,P n )e st libre, pour tout i ∈ [[ 1 , n ]] , α i = 0 .
La famille (P 1 , ··· ,P n+1 )e st donc libre.
On amontré par récurrence que toute famille finie de
polynômes non nuls de degrés tous distincts est libre.
Pours’entraîner :ex. 2et3
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
381
COURS
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Démonstration
1) Si la famille (x 1 , ··· ,x p )e st liée, il existe une combinaison linéaire des éléments de la famille qui s’annule avec au moins un coefficient non nul. Soit
α 1 x 1 + ···+α p x p = 0a vec, par exemple, α p
= 0. On peut alors écrire :
x p =
p−1
j=1
−
α j
α p
x j
x p est donc combinaisonlinéaire des (p − 1) autres vecteurs.
2) Si l’un des vecteurs, par exemple x p ,est combinaison linéaire des autres :
x p =
p−1
j=1
β j x j ;o naalors
p−1
j=1
β j x j − x p = 0
ce qui représente une combinaisonl inéaire des éléments de la famille avec un
coefficient égal à −1: la famille est liée.
Exemples :
1) Une famille de deux vecteurs (x, y)e st liée si et seulement s’il existe un scalaire
α tel que y = αx ou x = αy. On dit que x et y sont colinéaires.
2) Toute famille contenant plusieurs fois le même élément est liée.
3) La famille (x, y, x + y)e st liée.
APPLICATION 1
Un exemple important
Dans l’espace vectoriel K[X ], montrerq u’une famille
finie de polynômes nonn uls de degrés tous distincts est
libre.
On peut supposer les polynômes de la famille classés
par degrés strictement croissants. Raisonnons par récurrence sur le nombre n de polynômes de la famille.
• n = 1
Le polynôme P 1 étant nonnul, il forme une famille
libre.
• Soit n ∈ N
∗
tel que la famille de polynômes (P 1 , ··· ,P n ), de degrés strictement croissants, soitl ibre. Soit P n+1 un polynôme tel que
deg(P n+1 ) > deg(P n )e t( α 1 , ··· ,α n+1 )d es scalaires
tels que
n+1
i=1
α i P i = 0. Si α n+1 n’étaitp as nul,
cette somme serait de même degré que P n+1 , donc
α n+1 = 0.
Il reste
n
i=1
α i P i = 0e tc omme la famille
(P 1 , ··· ,P n )e st libre, pour tout i ∈ [[ 1 , n ]] , α i = 0 .
La famille (P 1 , ··· ,P n+1 )e st donc libre.
On amontré par récurrence que toute famille finie de
polynômes non nuls de degrés tous distincts est libre.
Pours’entraîner :ex. 2et3
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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