COURS 21
Dimension des espaces vectoriels
Remarquep réliminaire :Une famille finie (x 1 , x 2 , ··· ,x p ) d’éléments de Ee st
appelée«famille àpé léments », que les x i soient distinctsounon. L’entier pd ésigne
le nombre d’indices et non le cardinal de l’image {x 1 , x 2 , ··· ,x p }.
Comme dans le chapitre 11, K désigne le corpscommutatif R ou C.
1 Familles libres ou liées
1.1 • Définitions
Soit E un K-espace vectoriel.U ne famille finie (x 1 , x 2 , ··· ,x p )d ’éléments de
E est dite libre si la seulecombinaison linéaire des x i qui s’annule est celle dont
tous les coefficients sont nuls. C’est-à-diresi:
∀(α 1 ,··· ,α p ) ∈ K
p
α 1 x 1 +···+α p x p = 0 = ⇒ α 1 = ··· = α p = 0
On dit aussi que les vecteurs x 1 , ··· ,x p sont linéairement indépendants.
Unef amille qui n’est pas libre estd ite liée.S es éléments sont dits linéairement
dépendants.Lafamille finie (x 1 , ··· ,x p )e st liée si et seulement si :
∃(α 1 , ··· ,α p ) ∈ K
p
α 1 x 1 +···+α p x p = 0e t∃ i ∈ [[ 1 , p ]] α i = 0
1.2 • Propriétés
On peutvérifier que :
1) ∅ estlibre (la proposition commence par ∀α ∈ ∅ ···).
2) La famille (x)àun élément estlibre si et seulement si x
= 0.
3) Toute famille contenue dans une famille libre estlibre.
4) Toute famille contenant une famille liée est liée.
5) En particulier, toute famille contenant le vecteur nul estliée.
1.3 • Caractérisationd’une famille liée
Théorème 1
Unef amille (x 1 , ··· ,x p )d ev ecteurs d’un K-espace vectoriel E est liée si et
seulement si l’un au moins des x i est combinaison linéaire des (p − 1) autres.
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