Exercices
1 Vraioufaux ?
1. Une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )e st monotone si et seulement si f est monotone.
2. Si une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )e st convergente, alors sa limite vérifie
f () = .
3. Si une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )o ùf est continue, alors àpartir d’un certain
rang on a: f(u n )=u n .
4. Si f estune application d’un segment I dans lui-même
telle que pour tout x ∈ I , f (x) x .T oute suite( u n )
telle que u 0 ∈ I et pour tout n ∈ N u n+1 = f (u n )e st
convergente.
5. L’algorithme de Newton-Raphson converge pour toute
fonction f de classe C
2
sur [a, b].
6. Pour évaluer les zéros d’une fonction, la dichotomie est
beaucoup plus rapide que la méthode de Newton.
7. La méthode de Héron permet d’obtenir une valeur approchée de
√
2àun dix-millième près sans calculatrice en
moins de 3minutes.
8. Dans la méthode des trapèzes, doubler le nombre de
points de subdivisionsdivise l’erreur par 4.
9. La valeur approchée d’une intégrale par la méthode des
trapèzes est la moyenne arithmétiqued ed eux sommes de
Riemann.
10. Il est impossible d’approcher le nombre π d’aussi près
que l’on veut par des nombres rationnels.
Exercices posés aux oraux des concours
2 (Petites Mines 2006)
Étudier la suite récurrente (u n )d éfinie par :
⎧
⎨
⎩
u 0 ∈
[0, 1]
u n+1 =
√
u n
√
u n +
√ 1 − u n
(onp ourra rechercher les limites éventuelles de la suite et
discuter suivant la valeur de u 0 ).
3 (PetitesMines 2006)
Étudierlasuite récurrente (u n )d éfinie par :
⎧
⎨
⎩
u 0 ∈ R
∗
+
u n+1 =
6
u 2
n
(onpourra rechercher les limites éventuelles de la suite, étudier les variations de f telleque u n+1 = f (u n )e tdiscuter
suivant la valeur de u 0 ).
4 (Petites Mines 2007)
Pour n ∈ N, n 3,on pose f n (x) = x
n
−nx +1 avec x ∈ R + .
1) Montrer que f n admet deux racines dans R + ,n otées
a n et b n et telles que :
0 < a n < 1 < b n
2) Montrerque la suite (a n )e st monotone et convergente.
Trouver sa limite et un équivalent.
3) Montrer que f n
1+
2
√ (n)
n.Endéduire la limite
de la suite (b n ).
5 (Petites Mines 2007)
1) Montrer que pour tout k ∈ N
∗
,l’équation :
x ∈ R
∗
+
x +lnx=k
admet une unique solution notée x k .
2) Montrer qu’au voisinage de +∞ ,ona:
x k = ak + b ln k + c
ln k
k
+ o
ln k
k
où a, b, c sont desconstantes àdéterminer.
6 (Petites Mines 2005)
On définit pour tout x ∈ R
∗
+ ,
E x = {θ ∈]0, 1[, sh x = x +
x
3
6
ch (θx)}.
1) Montrer que :
∀x ∈ R
∗
+
Card(E x )=1.
2) On note donc θ(x)l ’unique élément de E x ,déterminer :
lim
x→0
θ(x).
7 (Petites Mines 2006)
1) Montrer que pour tout entier naturel non nul n ,l’équation :
x ∈]0, 1[ tan
πx
2
=
π
2nx
admetune unique solution notée x n .
2) Étudierl as uite réelle (x n )a insi définie et donner un
équivalent de x n au voisinage de +∞.
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1 Vraioufaux ?
1. Une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )e st monotone si et seulement si f est monotone.
2. Si une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )e st convergente, alors sa limite vérifie
f () = .
3. Si une suite (u n )v érifiant la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )o ùf est continue, alors àpartir d’un certain
rang on a: f(u n )=u n .
4. Si f estune application d’un segment I dans lui-même
telle que pour tout x ∈ I , f (x) x .T oute suite( u n )
telle que u 0 ∈ I et pour tout n ∈ N u n+1 = f (u n )e st
convergente.
5. L’algorithme de Newton-Raphson converge pour toute
fonction f de classe C
2
sur [a, b].
6. Pour évaluer les zéros d’une fonction, la dichotomie est
beaucoup plus rapide que la méthode de Newton.
7. La méthode de Héron permet d’obtenir une valeur approchée de
√
2àun dix-millième près sans calculatrice en
moins de 3minutes.
8. Dans la méthode des trapèzes, doubler le nombre de
points de subdivisionsdivise l’erreur par 4.
9. La valeur approchée d’une intégrale par la méthode des
trapèzes est la moyenne arithmétiqued ed eux sommes de
Riemann.
10. Il est impossible d’approcher le nombre π d’aussi près
que l’on veut par des nombres rationnels.
Exercices posés aux oraux des concours
2 (Petites Mines 2006)
Étudier la suite récurrente (u n )d éfinie par :
⎧
⎨
⎩
u 0 ∈
[0, 1]
u n+1 =
√
u n
√
u n +
√ 1 − u n
(onp ourra rechercher les limites éventuelles de la suite et
discuter suivant la valeur de u 0 ).
3 (PetitesMines 2006)
Étudierlasuite récurrente (u n )d éfinie par :
⎧
⎨
⎩
u 0 ∈ R
∗
+
u n+1 =
6
u 2
n
(onpourra rechercher les limites éventuelles de la suite, étudier les variations de f telleque u n+1 = f (u n )e tdiscuter
suivant la valeur de u 0 ).
4 (Petites Mines 2007)
Pour n ∈ N, n 3,on pose f n (x) = x
n
−nx +1 avec x ∈ R + .
1) Montrer que f n admet deux racines dans R + ,n otées
a n et b n et telles que :
0 < a n < 1 < b n
2) Montrerque la suite (a n )e st monotone et convergente.
Trouver sa limite et un équivalent.
3) Montrer que f n
1+
2
√ (n)
n.Endéduire la limite
de la suite (b n ).
5 (Petites Mines 2007)
1) Montrer que pour tout k ∈ N
∗
,l’équation :
x ∈ R
∗
+
x +lnx=k
admet une unique solution notée x k .
2) Montrer qu’au voisinage de +∞ ,ona:
x k = ak + b ln k + c
ln k
k
+ o
ln k
k
où a, b, c sont desconstantes àdéterminer.
6 (Petites Mines 2005)
On définit pour tout x ∈ R
∗
+ ,
E x = {θ ∈]0, 1[, sh x = x +
x
3
6
ch (θx)}.
1) Montrer que :
∀x ∈ R
∗
+
Card(E x )=1.
2) On note donc θ(x)l ’unique élément de E x ,déterminer :
lim
x→0
θ(x).
7 (Petites Mines 2006)
1) Montrer que pour tout entier naturel non nul n ,l’équation :
x ∈]0, 1[ tan
πx
2
=
π
2nx
admetune unique solution notée x n .
2) Étudierl as uite réelle (x n )a insi définie et donner un
équivalent de x n au voisinage de +∞.
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