Approximations
Exercice résolu
APPROXIMATION DE sin(10˚)
1) Démontrer que sin
π
18
est l’unique solution dans
0,
1
3
de l’équation :x=
4
3
x
3
+
1
6
.
2) On considère la suite (u n ) définie paru 0 =0et ∀n ∈ N u n+1 =
4
3
u
3
n +
1
6
. Démontrer que (u n ) converge vers
sin
π
18
.
3) En déduire unevaleur approchée de sin
π
18
à 10
−6
près.
Conseils
Solution
Utiliser le théorème desv aleurs intermédiaires pourprouver l’existence d’une
solution, et la strictem onotonie de la
fonction pour prouver son unicité.
1) Considérons les fonctions f et g définies par : f (x) =
4
3
x
3
+
1
6
et
g(x) = f (x) − x. La fonction g est dérivable et g
(x) = 4x
2
− 1. Pour
tout x ∈
0,
1
3
, g
(x) < 0, donc g est strictement décroissantes ur
cet intervalle. Comme g(0) =
1
6
et g
1
3
= −
19
162
, la fonction g
s’annule une fois et une seule sur
0,
1
3
.
Montrerque sin
π
18
est solution.
D’autrepart, sin
π
18
appartient àcesegment, et :
g
sin
π
18
=
4
3
sin
3 π
18
− sin
π
18
+
1
6
=
1
6
1 − 2sin
π
6
= 0
Il en résulteque sin
π
18
est bien l’unique solution de l’équation g(x) = 0
sur
0,
1
3
.
Montrer que (u n )e st croissante et
majorée.
2) Comme f est croissantesur
0,
1
3
, la suite (u n )e st monotone. Or
u 1 > u 0 , donc (u n )e st croissante ;comme elle est majorée par
1
3
, elle
converge. Sa limite estl’unique point fixe de f sur l’intervalle,c’est-à-dire
sin
π
18
.
Utiliser le théorème des accroissements
finis.
3) D’après le théorème des accroissements finis : ∀x ∈
0,
1
3
|f
(x)|
4
9
d’où
u n+1 − sin
π
18
4
9
u n − sin
π
18
. Par récurrence :
u n − sin
π
18
4
9
n
u n − sin
π
18
1
3
4
9
n
L’erreur est inférieure à1 0
− 6
àpartir de n = 16.
sin
π
18
0,1736482à 10
−6
près
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