Approximations
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour étudierune suite récurrente définie par u n+1 = f (u n ):
• on cherche les points fixes de la fonction f , c’est-à-direl es solutions de l’équation f (x) = x ;c es ont les
seules valeurs possibles de la limite de (u n ), si elle converge ;
• on cherche un intervalle I tel que f (I ) ⊂ I . Si u 0 appartient à I , alorspour tout entier n, u n appartient
à Iv ;
• si f est croissante sur I , alors la suite (u n )e st monotone ;sielle est bornée, elle converge ;
• si f est décroissante sur I , less uites (u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont monotones de sens inverses. La suite (u n )
converge si et seulement si lim
n→+∞
(u n+1 − u n ) = 0;
• si f est contractante(lipschitzienne de rapport strictement inférieur à1)sur le segment [a, b], il existe un
point fixeunique dans [a, b]e t( u n )c onverge vers ce point fixe.
Pour chercher une valeur approchée d’un zéro de la fonction continue f , on peut :
• mettre l’équation f (x) = 0s ous la forme g(x) = x et chercher une suite (u n )c onvergente vérifiant
u n+1 = g(u n );
• procéder par dichotomie ;
• si f est dérivableetsi f
ne s’annule pas, utiliser la méthode de Newton :onprend pour valeur approchée
l’abscisse du point d’intersection de la tangente àlacourbe de f en a avec l’axe Ox : β = a −
f (a)
f (a)
;
• utiliser l’algorithmed eN ewton-Raphson, qui consiste àr éitérer la méthode de Newton. Cet algorithme
converge si, par exemple, f est de classe C
2
sur un segment [a, b]o ùelle s’annule au moins une fois, et si
f
garde un signe constant. On choisira la valeur initiale u 0 de façon que f (u 0 )f
(u 0 ) > 0.
Pour calculer une valeur approchée d’une intégrale
b
a
f (t)dt, on peut employer la méthodedes trapèzes :
T n =
b − a
n
f (a)
2
+
n−1
i=1
f (x i )+
f( b )
2
L’erreur commise sera inférieure à
M 2 (b − a)
3
12 n 2 , où M 2 est la borne supérieure de f
sur [a, b].
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Pour étudierune suite récurrente définie par u n+1 = f (u n ):
• on cherche les points fixes de la fonction f , c’est-à-direl es solutions de l’équation f (x) = x ;c es ont les
seules valeurs possibles de la limite de (u n ), si elle converge ;
• on cherche un intervalle I tel que f (I ) ⊂ I . Si u 0 appartient à I , alorspour tout entier n, u n appartient
à Iv ;
• si f est croissante sur I , alors la suite (u n )e st monotone ;sielle est bornée, elle converge ;
• si f est décroissante sur I , less uites (u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont monotones de sens inverses. La suite (u n )
converge si et seulement si lim
n→+∞
(u n+1 − u n ) = 0;
• si f est contractante(lipschitzienne de rapport strictement inférieur à1)sur le segment [a, b], il existe un
point fixeunique dans [a, b]e t( u n )c onverge vers ce point fixe.
Pour chercher une valeur approchée d’un zéro de la fonction continue f , on peut :
• mettre l’équation f (x) = 0s ous la forme g(x) = x et chercher une suite (u n )c onvergente vérifiant
u n+1 = g(u n );
• procéder par dichotomie ;
• si f est dérivableetsi f
ne s’annule pas, utiliser la méthode de Newton :onprend pour valeur approchée
l’abscisse du point d’intersection de la tangente àlacourbe de f en a avec l’axe Ox : β = a −
f (a)
f (a)
;
• utiliser l’algorithmed eN ewton-Raphson, qui consiste àr éitérer la méthode de Newton. Cet algorithme
converge si, par exemple, f est de classe C
2
sur un segment [a, b]o ùelle s’annule au moins une fois, et si
f
garde un signe constant. On choisira la valeur initiale u 0 de façon que f (u 0 )f
(u 0 ) > 0.
Pour calculer une valeur approchée d’une intégrale
b
a
f (t)dt, on peut employer la méthodedes trapèzes :
T n =
b − a
n
f (a)
2
+
n−1
i=1
f (x i )+
f( b )
2
L’erreur commise sera inférieure à
M 2 (b − a)
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12 n 2 , où M 2 est la borne supérieure de f
sur [a, b].
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