Approximations
COURS
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4.2 • Exemple2:nouvelle approximation de π
Prenonslafonction Arctangente avec a = 0e tp=6:pour tout x 0,
Arctan x −
x −
x
3
3
+
x
5
5
Mx
7
7!
où M = sup
[0,x]
|f
(7)
|. Une étude graphique montre que cette borne supérieure est
atteinte en 0etvaut : M = −720. D’où:
Arctan x −
x −
x
3
3
+
x
5
5
x
7
7
On peut utiliser cette majoration pour approcher le nombre π, grâceàla formule
de Jean Guilloud (1976),q ui généralise celle de Machin (voir exercice 11 du
chapitre 2) :
π
4
= 12Arctan
1
18
+8Arctan
1
57
− 5Arctan
1
239
On asuccessivement :
Arctan
1
18
−
1
18
−
1
3×18 3 +
1
5×18 5
1
7×18 7
soit :
Arctan
1
18
− 0,05549850548
2,510
− 10
Arctan
1
57
−
1
57
−
1
3×57 3 +
1
5×57 5
1
7×57 7
soit :
Arctan
1
57
− 0,01754206005747
10
−13
Arctan
1
239
−
1
239
−
1
3×239 3 +
1
5×239 5
1
7×239 7
soit :
Arctan
1
239
− 0,004184076002074727
10
−17
Bien entendu, c’estlamoins précise de ces approximations qui impose la précision
résultante sur la somme : π sera connu avec une incertitude de 48×2,5×10
−10
soitenviron 1,210
− 8
.
|π−3,141592665| 1,210
− 8
Jean Guilloud autilisé cette méthode pour obtenir un million de décimales de π.
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