COURS 20
Approximations
3.3 • Application :approximation de π
On sait que:
1
0
4dx
x 2 +1
=π
Soit f la fonction définiesur [0, 1] par : f (x) =
4
x 2 +1
. Elle est de classe C
∞
et :
f
(x) = −
8x
(x 2 +1) 2 ; f
(x) =
8(3x
2
+1)
(x 2 +1) 3 ; f
(x) = −
96x(x − 1)(x +1)
(x 2 +1) 4
Notons que pour tout x ∈ [0, 1], f
(x) 0, donc la fonction f
est croissante
sur [0, 1] ;c omme f
(0) = −8e tf
(1) = 2, on peut en déduire que pour
tout x ∈ [0, 1], |f
(x)| 8, et donc M 2 = 8.
Pouro btenir une approximation de π à1 0
− 3
près, il faut
doncchoisir un nombre n de trapèzes telque
8
12n 2 10
−3
,
c’est-à-dire n 26 (cette méthode n’est pasextrêmement performante...).
En utilisant la fonction Trapezes que nous avons créée, nous
obtenons :
π 3.1413 à10
− 3
près
On remarque qu’en réalité,l’erreur commise est nettement plus
petite que 10
−3
. Cependant, cette méthode ne conviendraitpas
pour calculer des centainesdedécimales de π...
4 Approximations par la formule
de Taylor
L’inégalité de Taylor-Lagrange permetdemajorer l’erreur commise en approchant
la valeur d’une fonction en un point x voisin de a par son développementd e
Taylor en a. Si f estune fonction de classe C
p+1
sur un intervalle I et si pour
tout t ∈ I , |f
(p+1)
(t)| M , alors :
∀x ∈ I
f (x) −
p
k=0
(x − a)
k
k!
f
(k)
(a)
M
|x − a|
p+1
(p +1)!
4.1 • Exemple 1:approximation de e
Prenons la fonction exponentielle f (x) = e
x
, avec a = 0e tx=1 .
e−
p
k = 0
1
k !
3
( p+1)!
Pour avoir une précision de 10
−6
, il suffit que p = 9:ici, la méthode est
performante.
9
k=0
1
k!
=
98641
36288
2,7182815
d’où :e 2 , 718281 à10
− 6
près
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