Approximations
COURS
20
3.2 • Majoration de l’erreur
f
y
x
O
b
a
g 1
Doc. 9 Approximationaffine sur un
segment.
Supposons f de classe C
2
sur [a, b]e tposons M 2 = sup
[a,b]
|f
|.
Commençons par majorer
[a,b]
f − T 1
=
[a,b]
(f − g 1 )
(Doc. 9).
Considérons pour cela la fonction :
h(x) = f (x) − g 1 (x) −
M 2
2
(x − a)(b − x)
h
(x) = f
(x) − g
1 (x) −
M 2
2
(a + b − 2x)
h
(x) = f
(x)+M 2 0
h
est donc croissante. h(a) = h(b) = 0; d’après le théorème de Rolle, h
s’annule sur [a, b].
x ab
h
+
h
0
00
h
✏ ✏ ✏ ✶
✏ ✏ ✏ ✶
◗
◗ ◗ ◗ ✑
✑ ✑ ✸
La fonction h est donc toujours négative sur [a, b].
∀x ∈ [a, b] f (x) − g 1 (x)
M 2
2
(x − a)(b − x)
On montrerait de même que
∀x ∈ [a, b] f (x)−g 1 (x) −
M 2
2
(x−a)(b−x)
D’où :
∀x ∈ [a, b] |f (x) − g 1 (x)|
M 2
2
(x − a)(b − x)
et
b
a
(f (x) − g 1 (x)) dx
b
a
|f (x) − g 1 (x)| dx
M 2
2
b
a
(x − a)(b − x)dx
Soit en définitive
[a,b]
f − T 1
M 2
12
(b − a)
3
Pourmajorer
[a,b]
f − T n
, il suffit de répéter l’opération précédentesur chacun
des intervalles[ x i , x i +1 ], de longueur
b − a
n
:
[a,b]
f − T n
n
M 2
12
b − a
n
3
[a,b]
f − T n
M 2 (b − a)
3
12 n 2
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