COURS 20
Approximations
3 Calcul approché d’une intégrale
3.1 • Méthodedes trapèzes
On peut amélioreràpeu de frais l’approximation d’une intégrale donnée par les
sommes de Riemann en remplaçant la fonction en escalier par une fonction affine
par morceaux.
Soit f une fonction intégrable sur [a, b](a définie par : ∀i ∈ [[ 0 , n ]] x i = a + i
b − a
n
. Soit g n la fonction définiepar :
∀i ∈ [[ 0 , n ]] g n ( x i ) = f ( x i )
∀ i ∈ [[ 0 , n − 1]] g n est affine sur [x i , x i+1 ]
T n
y
x
O
a +
b – a
n
b
b – a
n
a
.....
f
g n
Doc. 8 Méthode des trapèzes.
Prenons pourvaleur approchéede
[ a , b ]
f l’intégrale T n de g n .
Dans le cas où f est positive sur [a, b], T n représente une somme d’aires de
trapèzes (Doc. 8).
T n =
b − a
n
n−1
i=0
f (x i )+f(x i+1 )
2
=
b − a
n
(
f (a)
2
+
n−1
i=1
f (x i )+
f( b )
2
)
Écrivons le programme pour la TI92/Voyage 200 calculant l’approximation par
la méthodedes trapèzes :
Trapezes(y,x,a,b,n)
y estl ’expression de f (x), x le nom de la variable, a et b les bornes de l’intervalle d’intégration, n le nombre de trapèzes.
Func
Locals ,i
s estune variable recevant la somme des f (x i ).
((y|x=a)+(y|x=b))/2→s Initialisation de s ;
Fori ,1,n-1
boucle de sommation ;
s+y|x=a+i*(b-a)/n→s
EndFor
(b-a)/n*s→s
approx(s)
EndFunc
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