Approximations
COURS
20
Démonstration
Soit α l’une des solutions de l’équation f (x) = 0s ur [a, b]( Doc. 7). La fonction
f
étant continue sur [a, b]e tn es ’annulant pas, elle garde un signe constant.
Supposons par exemple qu’elle reste positive :lafonction f est convexe sur [a, b].
D’aprèsl’hypothèse, f (u 0 ) > 0.
La tangente àl ac ourbe C f au point d’abscisse u 0 coupe l’axe Ox en u 1 .
Comme C f est au dessus de sa tangente, u 1 est entre u 0 et α, donc toujours
dans [a, b], et f (u 1 ) > 0. Par récurrence, pour tout entier n, u n+1 est entre u n
et α, et f (u n+1 ) > 0. On en déduit quelasuite (u n )e st monotone et bornée,
donc qu’elle converge.
Sa limite vérifie = −
f ()
f ()
, c’est-à-dire f () = 0. C’est la solution de
l’équation f (x) = 0l aplus proche de u 0 .
Ou 0
u 1
x
a
y
Doc. 7 Un casoùl’algorithme
aboutit.
Exemple : Considéronslafonction définie sur R
∗
+ par : f (x) = x
2
− a ( a > 0),
et la suite (u n )v érifiant la relation de récurrence :
u n+1 = u n −
u
2
n − a
2u n
=
1
2
u n +
a
u n
On reconnaît la suite utilisée dans la méthode de Héron pour approcher le réel
√ a. Comme f est de classe C
2
sur R
∗
+ et que f
ne s’annule pas, la suite
converge pour tout u 0 telque f (u 0 ) 0, c’est-à-dire u 0
√ a. En fait, quel
quesoit u 0 > 0, u 1
√ a et par conséquentlasuite converge. Nous avons déjà
observé que la convergence était très rapide, ce qui est souvent le cas avec cette
méthode.
Programmation de l’algorithme
Le programme suivantc alcule u n jusqu’àc eq ue |u n − u n−1 | ε
1
.I lr envoie
la valeur de u n et l’entier n, c’est-à-dire le nombre d’itérations effectuées. On
constate qu’on obtient d’excellentesapproximations en très peu d’étapes.
Newton(y,x,a,eps)
y estl’expression de f (x), x le nom de la variable,
a la valeur initiale, eps la précision souhaitée.
Func
Localn ,u,v,z
u estleterme courant de la suite, v le termeprécédent. z l’expression de f
(x).
d(y,x)→z
calcul de la dérivée.
0→n
a→u
∞ →v
While abs(u-v)>eps
tant que |u − v| > ε
u→v
sauvegarde du termedelasuite ;
u-(y|x=u)/(z|x=u)→u calcul du terme suivant.
n+1→n
incrémentation de n.
EndWhile
[u,n]
renvoyer le dernier terme calculé et le nombre
d’itérations.
EndFunc
1 ce test d’arrêt ne prouvepas que |un − | ε ; mais, la suite étant croissante, on n’a pas d’autre possibilitéfaute de connaître des propriétés plus
fines de la fonction f .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
371
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Démonstration
Soit α l’une des solutions de l’équation f (x) = 0s ur [a, b]( Doc. 7). La fonction
f
étant continue sur [a, b]e tn es ’annulant pas, elle garde un signe constant.
Supposons par exemple qu’elle reste positive :lafonction f est convexe sur [a, b].
D’aprèsl’hypothèse, f (u 0 ) > 0.
La tangente àl ac ourbe C f au point d’abscisse u 0 coupe l’axe Ox en u 1 .
Comme C f est au dessus de sa tangente, u 1 est entre u 0 et α, donc toujours
dans [a, b], et f (u 1 ) > 0. Par récurrence, pour tout entier n, u n+1 est entre u n
et α, et f (u n+1 ) > 0. On en déduit quelasuite (u n )e st monotone et bornée,
donc qu’elle converge.
Sa limite vérifie = −
f ()
f ()
, c’est-à-dire f () = 0. C’est la solution de
l’équation f (x) = 0l aplus proche de u 0 .
Ou 0
u 1
x
a
y
Doc. 7 Un casoùl’algorithme
aboutit.
Exemple : Considéronslafonction définie sur R
∗
+ par : f (x) = x
2
− a ( a > 0),
et la suite (u n )v érifiant la relation de récurrence :
u n+1 = u n −
u
2
n − a
2u n
=
1
2
u n +
a
u n
On reconnaît la suite utilisée dans la méthode de Héron pour approcher le réel
√ a. Comme f est de classe C
2
sur R
∗
+ et que f
ne s’annule pas, la suite
converge pour tout u 0 telque f (u 0 ) 0, c’est-à-dire u 0
√ a. En fait, quel
quesoit u 0 > 0, u 1
√ a et par conséquentlasuite converge. Nous avons déjà
observé que la convergence était très rapide, ce qui est souvent le cas avec cette
méthode.
Programmation de l’algorithme
Le programme suivantc alcule u n jusqu’àc eq ue |u n − u n−1 | ε
1
.I lr envoie
la valeur de u n et l’entier n, c’est-à-dire le nombre d’itérations effectuées. On
constate qu’on obtient d’excellentesapproximations en très peu d’étapes.
Newton(y,x,a,eps)
y estl’expression de f (x), x le nom de la variable,
a la valeur initiale, eps la précision souhaitée.
Func
Localn ,u,v,z
u estleterme courant de la suite, v le termeprécédent. z l’expression de f
(x).
d(y,x)→z
calcul de la dérivée.
0→n
a→u
∞ →v
While abs(u-v)>eps
tant que |u − v| > ε
u→v
sauvegarde du termedelasuite ;
u-(y|x=u)/(z|x=u)→u calcul du terme suivant.
n+1→n
incrémentation de n.
EndWhile
[u,n]
renvoyer le dernier terme calculé et le nombre
d’itérations.
EndFunc
1 ce test d’arrêt ne prouvepas que |un − | ε ; mais, la suite étant croissante, on n’a pas d’autre possibilitéfaute de connaître des propriétés plus
fines de la fonction f .
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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