COURS 20
Approximations
2.3 • Majoration de l’erreur dans la méthode de Newton
Afin de majorerl’erreur |β−α|, supposonslafonction f de classe C
2
sur [a, b]
et :
∀x ∈ [a, b] |f
(x)| m 1 > 0; | f
(x)| M 2
Comme f
estcontinue et ne s’annulepas sur ]a, b[, elle garde un signe constant
et par conséquent f est strictement monotone sur ]a, b[. La solution α de
l’équation f (x) = 0e st donc unique.
|α − β| =
α − a +
f (a)
f (a)
=
|f (a)+(α−a)f
(a)|
|f (a)|
D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange,
|f (a)+(α−a)f
(a)|M 2
|α−a|
2
2
M 2
(b−a)
2
2
Par ailleurs,
1
|f (a)|
1
m 1
. D’où :
|α − β|
M 2 (b − a)
2
2m 1
La méthodedeNewton convient bien aux fonctions dont la dérivée est grande en
valeur absolue ( m 1 grand) et dont la dérivée seconde est faible ( M 2 petit).
2.4 • Algorithme de Newton-Raphson
Ou 0 u 1 u 2
u 3
x
a
y
Doc. 5 Algorithme Newton-Raphson.
La méthodedeNewton permet de calculer àpartir d’une valeur initiale u 0 = a une
approximationde α : u 1 =β=u 0 −
f(u 0 )
f (u 0 )
. En itérant ce procédé, on construit
une suite (u n )t elle que u 0 = a et pour tout n ∈ N : u n+1 = u n −
f (u n )
f (u n )
(Doc. 5).
y
x
O u 0
u 1
a
Doc. 6 Un cas où l’algorithme
n’aboutit pas.
Cette suite n’est pastoujours convergente (Doc. 6).
Donnonsune condition suffisante pour qu’elle le soit :
Théorème 2
Soit f une fonction de classe C
2
sur le segment [a, b], s’annulant au moins
unefois sur [a, b]e ttelle que f
ne s’annule pas sur [a, b]. Soit (u n )l asuite
définiepar u 0 ∈ [a, b]e tpour tout n ∈ N :
u n+1 = u n −
f (u n )
f (u n )
Si f (u 0 )f
(u 0 ) > 0, alors (u n )c onverge, et sa limite vérifie f () = 0.
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