Approximations
COURS
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Programmons cet algorithme sur la calculatrice TI-92/Voyage 200 :
dichotom(y,x,a,b,eps)
y est l’expression de f (x), x le nom de la variable, a et b les bornes initiales de l’intervalle,
eps la précision souhaitée.
Func
Localt ,ta,tb
t estu ne variable intermédiaire, ta et tb les
bornes quié voluent au fur et àm esure de
l’algorithme.
round(a)→ta
initialisation de ta en modeFLOAT
round(b)→tb
a→t
While abs(tb-ta)>eps
tant que |tb − ta| > ε
(ta+tb)/2→t
on place
ta + tb
2
danslavariable t
If (y|x=t)*(y|x=ta)>0 Then si f (t)est du même signe que f (ta)
t→ta
on remplace ta par t
Else
sinon (i.e. si f (t)est du même signe que f (tb))
t→tb
on remplace tb par t
EndIf
EndWhile
t
renvoyer la dernière valeur de t.
EndFunc
Exemple :L’équation cos x = x admet une solution, ici unique, dans l’intervalle
[0,
π
2
]; cherchons une valeur approchée de cette solution à1 0
− 3
près.
2.2 • MéthodedeNewton
y
x
a
β
α
b
O
Doc.4 Méthode de Newton.
Supposonsdeplus que f est dérivable et que la fonction f
ne s’annule pas sur
[a, b]. Désignons par C la courbe représentative de f (Doc. 4). La tangente à
C au pointd’abscisse a rencontre l’axe Ox en un point d’abscisse β. On peut
raisonnablement penser que β est une meilleure approximation de α que a,
bien que ce ne soit pas toujours vrai (penseràun exemple où |f
(a)| est faible).
La tangente apour équation : y − f (a) = f
(a)(x − a), d’où :
β = a −
f (a)
f (a)
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