COURS 20
Approximations
O
x
y
Doc. 3 Méthode de Héron.
On voit que pour tout x ∈ R
∗
+ , f (x)
√ a ;p ar conséquent, pour tout n 1,
u n
√ a. De plus, comme pour x ∈ [
√ a, +∞[, f (x) x, la suite (u n )e st
décroissante àpartir du rang 1. Minorée par
√ a, elle converge ;etcomme
√ a
est le seul point fixe, c’est la limite de la suite.
Nous allons montrer que la convergenceest extrêmement rapide. Considérons la
suite (v n )d éfinie par : v n =
u n −
√ a
u n +
√ a
. Calculons v n+1 en fonction de v n :
v n+1 =
u n+1 −
√ a
u n+1 +
√ a
=
u n +
a
un − 2
√ a
u n +
a
un +2
√ a
=
(u n −
√ a)
2
(u n +
√ a) 2 =v
2
n
On en déduit que pour tout n ∈ N : v n = v
2
n
0 , puis ques i u 0 >
√ a ,
| u n −
√ a |
n
× 2 u 0 .
APPLICATION 2
Approximation de
√ 2p ar la méthode de Héron
Cherchonsu ne approximation de
√
2 en partantd e
u 0 =
3
2
.
Sachant que
7
5
2
< 2,
√
2 >
7
5
et par conséquent v 0 <
3
2 −
7
5
3
2 +
7
5
=
1
29
.
On ad onc
un −
√ 2
<
1
29
2
n
×3. Il suffit
de choisir n = 3p our avoir une approximation
meilleureque 10
−11
!
u 1 =
17
12
;
u 2 =
577
408
;
u 3 =
665857
470832
1,41421356237
2 Calcul approché des zéros d’une
fonction
Soit f une fonction continue sur[ a , b ]t elle que f (a)f (b) < 0; on sait d’après
le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe au moins un réel α ∈]a, b[t el
que f (α) = 0. Si de plus f est strictement monotone, α est unique. Cherchons
des méthodes d’approximation de α.
2.1 • Dichotomie
L’idée la plus simple estd ep lacer α par rapport àl am oyenne arithmétique
m =
a + b
2
: α est entre a et m si f (m)e st du signe de f (b), ou entre m et
b si f (m)e st du signe de f (a). On pourra donc recommencer en remplaçant
a ou b par m suivant le signe de f (m). On réitéreraceprocédé jusqu’à ce que
l’amplitude de l’encadrement soit aussi petite que l’on veut.
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Approximations
O
x
y
Doc. 3 Méthode de Héron.
On voit que pour tout x ∈ R
∗
+ , f (x)
√ a ;p ar conséquent, pour tout n 1,
u n
√ a. De plus, comme pour x ∈ [
√ a, +∞[, f (x) x, la suite (u n )e st
décroissante àpartir du rang 1. Minorée par
√ a, elle converge ;etcomme
√ a
est le seul point fixe, c’est la limite de la suite.
Nous allons montrer que la convergenceest extrêmement rapide. Considérons la
suite (v n )d éfinie par : v n =
u n −
√ a
u n +
√ a
. Calculons v n+1 en fonction de v n :
v n+1 =
u n+1 −
√ a
u n+1 +
√ a
=
u n +
a
un − 2
√ a
u n +
a
un +2
√ a
=
(u n −
√ a)
2
(u n +
√ a) 2 =v
2
n
On en déduit que pour tout n ∈ N : v n = v
2
n
0 , puis ques i u 0 >
√ a ,
| u n −
√ a |
n
× 2 u 0 .
APPLICATION 2
Approximation de
√ 2p ar la méthode de Héron
Cherchonsu ne approximation de
√
2 en partantd e
u 0 =
3
2
.
Sachant que
7
5
2
< 2,
√
2 >
7
5
et par conséquent v 0 <
3
2 −
7
5
3
2 +
7
5
=
1
29
.
On ad onc
un −
√ 2
<
1
29
2
n
×3. Il suffit
de choisir n = 3p our avoir une approximation
meilleureque 10
−11
!
u 1 =
17
12
;
u 2 =
577
408
;
u 3 =
665857
470832
1,41421356237
2 Calcul approché des zéros d’une
fonction
Soit f une fonction continue sur[ a , b ]t elle que f (a)f (b) < 0; on sait d’après
le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe au moins un réel α ∈]a, b[t el
que f (α) = 0. Si de plus f est strictement monotone, α est unique. Cherchons
des méthodes d’approximation de α.
2.1 • Dichotomie
L’idée la plus simple estd ep lacer α par rapport àl am oyenne arithmétique
m =
a + b
2
: α est entre a et m si f (m)e st du signe de f (b), ou entre m et
b si f (m)e st du signe de f (a). On pourra donc recommencer en remplaçant
a ou b par m suivant le signe de f (m). On réitéreraceprocédé jusqu’à ce que
l’amplitude de l’encadrement soit aussi petite que l’on veut.
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