Approximations
COURS
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2) Existence :Lafonction x
→ f (x) − x est continue sur [a, b]e tf( a ) − a0 ,
f( b ) − b0 .D’après le théorème des valeurs intermédiaires, cette fonction prend
la valeur 0sur [a, b]; il existe donc ∈ [a, b] f () = .
Unicité :S il ’équation f (x) = x admettait deux solutions distinctes et
,
l’inégalité (1) donnerait : | −
| k| −
| < | −
|, ce qui est absurde.
Donc la solution estunique.
3) On montre par récurrence que pour tout n ∈ N, u n ∈ [a, b]. En appliquant
(1) à x = u n et x
= , on a:
∀n∈N |u n +1 − | k|u n − |
et ànouveau par récurrence :
∀n ∈ N |u n − | k
n
|u 0 − |
Comme0k<1 ,la suite (k
n
)c onverge vers 0e tl as uite (u n )c onverge
vers .
APPLICATION 1
Exemples de suites récurrentes définies par une fonction contractante
Démontrerque les suites définies ci-dessous par récurrence
convergent quel que soit u 0 :
a) u n+1 = 2+
1
2
sin u n .
b) u n+1 = cos u n .
a) Considérons la fonction f définie par :
f (x) = 2+
1
2
sin x
Pourtout n 1, u n ∈
3
2
,
5
2
. f est dérivable de
3
2
,
5
2
dans
3
2
,
5
2
et :
∀x ∈
3
2
,
5
2
|f
(x)|
1
2
< 1
On est donc bien dans les conditions d’application du
résultat précédent :lasuite (u n )c onverge et ceci quel
quesoit u 0 .
b) Considérons la fonction f définie par :
f (x) = cos x
Pour tout n 1, u n ∈ [−1, 1]. f est dérivable de
[−1, 1] dans [−1, 1] et :
∀x ∈ [−1, 1] |f
(x)| sin 1 < 1
Pour lesm êmes raisons, la suite (u n )c onverge quel
que soit u 0 .
1.5 • Approximationd’une racine carrée :
méthodedeHéron
La méthodes uivante de calcul d’une racine carrée, du type «approximations
successives »é tait déjà appliquée par les Babyloniens 3000 ans av. J.-C. Elle fut
reprise et systématiséepar Héron d’Alexandrie.
Soit a ∈ R
∗
+ . Étudions la convergence de la suite (u n )d éfinie par u 0 > 0e t:
∀n∈N u n +1 =
1
2
u n +
a
u n
Représentons graphiquementlafonction f définie sur R
∗
+ par f (x) =
1
2
x +
a
x
(Doc. 3).
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