COURS 20
Approximations
L’étude des variations de f montre alors:
• f([0, β[) = ]β, 1] et f (]β, 1]) = [0, β[; donc si u 0 ∈ [0, β[, pourt out
n ∈ N, u 2n ∈ [0, β[e tu 2 n +1 ∈ ]β, 1].
• f ◦ f (x) = 2x
2
− x
4
, d’où f ◦ f (x) − x = x(x − 1)(−x
2
− x +1); les points
fixes de f ◦ f sont α, β, 0e t1;
si u 0 ∈ [0, β[, u 2 < u 0 , la suite (u 2n )e st décroissante et
pour tout n, 0 u 2n < β, la suite (u 2n+1 )e st croissante et
pour tout n, β < u 2n+1 1; elles convergent donc vers des
limitesq ui sont des points fixes de f ◦ f :( u 2 n )c onverge
vers 0, (u 2n+1 )c onverge vers 1, ce qui prouve que la suite
(u n )d iverge ;
si u 0 ∈ ]β, 1], u 1 ∈ [0, β[, l’étudeprécédente s’applique,
la suite( u n )d iverge ;
• si u 0 < α, pourtout n ∈ N, u n < α, la suite estdécroissante, ellediverge vers −∞ ;
• si u 0 ∈ ]α, 0[, la suite estcroissante tant que u n < 0, mais
n’est pas majoréepar 0, puisqu’ellenepeut pas converger vers
une limite appartenant à] α , 0], il existe donc u n0 ∈ [0, 1],
l’étude précédente s’applique àpartir du rang n 0 ;
• si u 0 > 1, par paritéde f, (u n )d iverge sauf si u 0 = −α.
En conclusion, la suite converge si et seulement si u 0 ∈{α,β},
elle est alors stationnaire.
1.4 • Majorationdel’erreur
Dans le casoùlasuite (u n )c onverge, on peut considérer chaque terme u n comme
uneapproximation de la limite . On cherchealors àmajorer l’erreur |u n − |.
Nous allons étudiercette majoration dans le cas où f est contractante, c’est-à-dire
lipschitzienne de rapportstrictement inférieur à1.
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable de [a, b]d ans [a, b]t elle que :
∃k < 1 ∀x ∈ [a, b] |f
(x)| k
1) f est k-lipschitziennesur [a, b].
2) L’équation f (x) = x admetune solution et une seuledans [a, b]. On notera
cette solution.
3) Soit (u n )u ne suite définie par u 0 ∈ [a, b]e tp our tout n ∈ N :
u n+1 = f (u n ). La suite( u n )c onvergevers .
Démonstration
1) On peut appliquer l’inégalité des accroissements finis àlafonction f sur tout
segment [x, x
]( ou [x
, x])inclus dans [a, b]:
∀ ( x , x
)∈[ a , b ]
2
| f( x )−f( x
) |k | x−x
| (1)
f est donc k-lipschitzienne. Comme k < 1, on dit que f est contractante.
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Approximations
L’étude des variations de f montre alors:
• f([0, β[) = ]β, 1] et f (]β, 1]) = [0, β[; donc si u 0 ∈ [0, β[, pourt out
n ∈ N, u 2n ∈ [0, β[e tu 2 n +1 ∈ ]β, 1].
• f ◦ f (x) = 2x
2
− x
4
, d’où f ◦ f (x) − x = x(x − 1)(−x
2
− x +1); les points
fixes de f ◦ f sont α, β, 0e t1;
si u 0 ∈ [0, β[, u 2 < u 0 , la suite (u 2n )e st décroissante et
pour tout n, 0 u 2n < β, la suite (u 2n+1 )e st croissante et
pour tout n, β < u 2n+1 1; elles convergent donc vers des
limitesq ui sont des points fixes de f ◦ f :( u 2 n )c onverge
vers 0, (u 2n+1 )c onverge vers 1, ce qui prouve que la suite
(u n )d iverge ;
si u 0 ∈ ]β, 1], u 1 ∈ [0, β[, l’étudeprécédente s’applique,
la suite( u n )d iverge ;
• si u 0 < α, pourtout n ∈ N, u n < α, la suite estdécroissante, ellediverge vers −∞ ;
• si u 0 ∈ ]α, 0[, la suite estcroissante tant que u n < 0, mais
n’est pas majoréepar 0, puisqu’ellenepeut pas converger vers
une limite appartenant à] α , 0], il existe donc u n0 ∈ [0, 1],
l’étude précédente s’applique àpartir du rang n 0 ;
• si u 0 > 1, par paritéde f, (u n )d iverge sauf si u 0 = −α.
En conclusion, la suite converge si et seulement si u 0 ∈{α,β},
elle est alors stationnaire.
1.4 • Majorationdel’erreur
Dans le casoùlasuite (u n )c onverge, on peut considérer chaque terme u n comme
uneapproximation de la limite . On cherchealors àmajorer l’erreur |u n − |.
Nous allons étudiercette majoration dans le cas où f est contractante, c’est-à-dire
lipschitzienne de rapportstrictement inférieur à1.
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable de [a, b]d ans [a, b]t elle que :
∃k < 1 ∀x ∈ [a, b] |f
(x)| k
1) f est k-lipschitziennesur [a, b].
2) L’équation f (x) = x admetune solution et une seuledans [a, b]. On notera
cette solution.
3) Soit (u n )u ne suite définie par u 0 ∈ [a, b]e tp our tout n ∈ N :
u n+1 = f (u n ). La suite( u n )c onvergevers .
Démonstration
1) On peut appliquer l’inégalité des accroissements finis àlafonction f sur tout
segment [x, x
]( ou [x
, x])inclus dans [a, b]:
∀ ( x , x
)∈[ a , b ]
2
| f( x )−f( x
) |k | x−x
| (1)
f est donc k-lipschitzienne. Comme k < 1, on dit que f est contractante.
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