Approximations
COURS
20
Doc. b.
Doc. a.
Aveclatouche MODE,sélectionner Graph :...SEQUENCE
Dans l’écran Y=,définir la suite et choisir la valeur initiale :0.
Avec la touche F7,s électionner Axes :...WEB et Build
Web :...TRACE
Dans l’écran GRAPH,a vecl at ouche F3 et le curseur, visualiser
l’évolutiondelasuite.
La suite semble converger vers 2. Tentons de le démontrer. On
désignepar f la fonction x
→
x
2
4
, définiesur R (Doc. 1).
1) Recherchonsles points fixes de f ;
f () = ⇐⇒
2
4
+1= ⇐⇒ = 2
La seule limite possible pour la suite (u n )e st donc = 2.
2) f est croissante sur R + , d’où :
f ([0, 2]) = [f (0), f (2)] = [1, 2]
f ([0, 2]) ⊂ [0, 2], la suite (u n )e st donc minorée par 0e t
majorée par 2, elle est monotone et f (u 0 ) = 1 > u 0 prouve
qu’elleest croissante.
0
y
x
12
Doc. 1 Exemple1.
Nous savons qu’alors (u n )c onverge vers une limite appartenant à] 0 , 2], cette
limite ne peut être que = 2, d’après 1).
Prolongement :que se passe-t-il avec d’autres valeurs de u 0 ?
• l’étude précédente se généralise à u 0 ∈ [0, 2[, car pour tout x ∈ [0, 2[,
f (x) > x ;
• la croissance de f sur R + prouve que f ([2, +∞[) = [2, +∞[, si u 0 > 2, la
suiteest donc minorée par 2, monotone croissante carpour tout x ∈]2, +∞[,
f (x) > x ;e lle ne peut pas converger vers 2, elle diverge donc vers +∞ ;
• f est paire ce qui prouveque la suite (u n )n edépend que de |u 0 |.
En conclusion, la suite converge vers = 2s ietseulement si |u 0 | 2.
1.3 • Exemple2
0
y
b
a
x
1
1
Doc. 2 Exemple2.
Étudier la convergence de la suite (u n )d éfinie par u 0 = 0e tl ar elation de
récurrence :
u n+1 = 1 − u
2
n
On désignep ar f la fonction x
→ 1 − x
2
, définies ur R, elle estp aire,
décroissante sur R + (Doc. 2).
f (x) = x ⇐⇒ x
2
+ x − 1 = 0 , d’où deux solutions réelles de signe opposé, α
et β avec
α < 0 < β f (−2) − (−2) = −1, f (0) − 0 = 1, f (1) − 1 = −1
d’où −2 < α < 0 < β < 1.
Les seuleslimites possibles de la suite (u n )a ucas où elle converge sont donc α
ou β.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Web :...TRACE
Dans l’écran GRAPH,a vecl at ouche F3 et le curseur, visualiser
l’évolutiondelasuite.
La suite semble converger vers 2. Tentons de le démontrer. On
désignepar f la fonction x
→
x
2
4
, définiesur R (Doc. 1).
1) Recherchonsles points fixes de f ;
f () = ⇐⇒
2
4
+1= ⇐⇒ = 2
La seule limite possible pour la suite (u n )e st donc = 2.
2) f est croissante sur R + , d’où :
f ([0, 2]) = [f (0), f (2)] = [1, 2]
f ([0, 2]) ⊂ [0, 2], la suite (u n )e st donc minorée par 0e t
majorée par 2, elle est monotone et f (u 0 ) = 1 > u 0 prouve
qu’elleest croissante.
0
y
x
12
Doc. 1 Exemple1.
Nous savons qu’alors (u n )c onverge vers une limite appartenant à] 0 , 2], cette
limite ne peut être que = 2, d’après 1).
Prolongement :que se passe-t-il avec d’autres valeurs de u 0 ?
• l’étude précédente se généralise à u 0 ∈ [0, 2[, car pour tout x ∈ [0, 2[,
f (x) > x ;
• la croissance de f sur R + prouve que f ([2, +∞[) = [2, +∞[, si u 0 > 2, la
suiteest donc minorée par 2, monotone croissante carpour tout x ∈]2, +∞[,
f (x) > x ;e lle ne peut pas converger vers 2, elle diverge donc vers +∞ ;
• f est paire ce qui prouveque la suite (u n )n edépend que de |u 0 |.
En conclusion, la suite converge vers = 2s ietseulement si |u 0 | 2.
1.3 • Exemple2
0
y
b
a
x
1
1
Doc. 2 Exemple2.
Étudier la convergence de la suite (u n )d éfinie par u 0 = 0e tl ar elation de
récurrence :
u n+1 = 1 − u
2
n
On désignep ar f la fonction x
→ 1 − x
2
, définies ur R, elle estp aire,
décroissante sur R + (Doc. 2).
f (x) = x ⇐⇒ x
2
+ x − 1 = 0 , d’où deux solutions réelles de signe opposé, α
et β avec
α < 0 < β f (−2) − (−2) = −1, f (0) − 0 = 1, f (1) − 1 = −1
d’où −2 < α < 0 < β < 1.
Les seuleslimites possibles de la suite (u n )a ucas où elle converge sont donc α
ou β.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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