COURS 20
Approximations
1 Suites récurrentes
Il s’agiti ci d’étudier des suites définies par la donnée d’un premier terme et une
relation de récurrence, dites suites récurrentes:
(u n )t elle que
u 0 ∈ I
∀n ∈ N u n+1 = f (u n )
où f estune fonction continue définie sur I intervalle de R, àvaleurs dans R,
telleque f (I ) ⊂ I , ce qui permet de définir successivement les termes de (u n ).
Lorsquel as uite (u n )c onverge, ses termes successifs peuvent servir d’approximationsd el al imite ;c ’est ce qu’on appelle méthode des approximations
successives.
1.1 • Étudegénérale
Lespropriétés de la fonction f permettent de déterminer la limite éventuelle de
la suite, puis d’établir s’il yaou nonconvergence vers ce réel :
• Si la suite (u n )c onvergev ers , alors f () = . En effetl im
n→+∞
u n =
entraîne lim
n→+∞
u n+1 = et lim
n→+∞
f (u n ) = f (), d’où l’égalité.
• Montrer que la suite estb ornée, c’est trouver un segment [a, b]t el que
u 0 ∈ [a, b]e tf ([a, b]) ⊂ [a, b], une récurrence immédiate prouve alors :
∀n 0
a u n b.
Il s’agit doncd ’étudier les variations de f sur I , on cherche[ a , b ]t el que
∈ [a, b].
• Si de plus f estcroissante sur [a, b], la suite (u n )e st monotone, sa monotonie
est déterminée par la comparaison de u 0 et u 1 :
sgn(u n+2 −u n+1 ) = sgn(f (u n+1 −f (u n )) = sgn(u n+1 −u n ), le signe de u n+1 −u n
est donc constant, c’estcelui de u 1 − u 0 :
–s iu 0 < u 1 ,la suite (u n )e st croissante,
–s iu 0 > u 1 ,la suite estdécroissante.
Remarque :S’il existe n 0 tel queu n 0 +1 = u n0 , la suitee st stationnaire et
= u n0 .
• Si f est décroissantes ur [a, b], le calcul précédent prouve que les signes de
u n+2 − u n+1 et u n+1 − u n sont opposés, alors :
–l es suites (u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont monotones car f ◦ f est croissante, de
monotonies inverses,
–( u n )e st convergente si et seulement si lim
n→+∞
u n+1 − u n = 0, c’est-à-dire si
(u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont adjacentes.
1.2 • Exemple1
Étudier la convergence de la suite (u n )d éfinie par u 0 = 0e tl ar elation de
récurrence :
u n+1 =
u
2
n
4
+1
Utilisons la TI-92/Voyage 200 pour représenter graphiquement le comportement
de la suite.
364
Approximations
1 Suites récurrentes
Il s’agiti ci d’étudier des suites définies par la donnée d’un premier terme et une
relation de récurrence, dites suites récurrentes:
(u n )t elle que
u 0 ∈ I
∀n ∈ N u n+1 = f (u n )
où f estune fonction continue définie sur I intervalle de R, àvaleurs dans R,
telleque f (I ) ⊂ I , ce qui permet de définir successivement les termes de (u n ).
Lorsquel as uite (u n )c onverge, ses termes successifs peuvent servir d’approximationsd el al imite ;c ’est ce qu’on appelle méthode des approximations
successives.
1.1 • Étudegénérale
Lespropriétés de la fonction f permettent de déterminer la limite éventuelle de
la suite, puis d’établir s’il yaou nonconvergence vers ce réel :
• Si la suite (u n )c onvergev ers , alors f () = . En effetl im
n→+∞
u n =
entraîne lim
n→+∞
u n+1 = et lim
n→+∞
f (u n ) = f (), d’où l’égalité.
• Montrer que la suite estb ornée, c’est trouver un segment [a, b]t el que
u 0 ∈ [a, b]e tf ([a, b]) ⊂ [a, b], une récurrence immédiate prouve alors :
∀n 0
a u n b.
Il s’agit doncd ’étudier les variations de f sur I , on cherche[ a , b ]t el que
∈ [a, b].
• Si de plus f estcroissante sur [a, b], la suite (u n )e st monotone, sa monotonie
est déterminée par la comparaison de u 0 et u 1 :
sgn(u n+2 −u n+1 ) = sgn(f (u n+1 −f (u n )) = sgn(u n+1 −u n ), le signe de u n+1 −u n
est donc constant, c’estcelui de u 1 − u 0 :
–s iu 0 < u 1 ,la suite (u n )e st croissante,
–s iu 0 > u 1 ,la suite estdécroissante.
Remarque :S’il existe n 0 tel queu n 0 +1 = u n0 , la suitee st stationnaire et
= u n0 .
• Si f est décroissantes ur [a, b], le calcul précédent prouve que les signes de
u n+2 − u n+1 et u n+1 − u n sont opposés, alors :
–l es suites (u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont monotones car f ◦ f est croissante, de
monotonies inverses,
–( u n )e st convergente si et seulement si lim
n→+∞
u n+1 − u n = 0, c’est-à-dire si
(u 2n )e t( u 2 n +1 )s ont adjacentes.
1.2 • Exemple1
Étudier la convergence de la suite (u n )d éfinie par u 0 = 0e tl ar elation de
récurrence :
u n+1 =
u
2
n
4
+1
Utilisons la TI-92/Voyage 200 pour représenter graphiquement le comportement
de la suite.
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