Exercices
1 Vraioufaux ?
a) L’inégalité des accroissements finis est un cas particulier
de l’inégalité de Taylor-Lagrange.
b) Si f estune fonction de classe C
∞
sur [a, b], le reste
d’ordre n de Taylor de f sur [a, b]t end toujours vers 0
quand n tend vers +∞.
c) Toute fonction définie en a et admettant un développement limité d’ordre1en a est dérivable en a.
d) Toutef onction admettant un développement limité
d’ordre n en a est n fois dérivableen a.
e) Toute fonctiondeclasse C
n
sur un intervalle I admet
un développementlimité d’ordre n en tout point de I .
f) Si une fonction admet un développement limité d’ordre
n 1e na ,sa dérivée admet un développement limité
d’ordre n − 1e na .
g) Si une fonction f est de classe C
∞
, on peut obtenir un
développement limité d’ordre n de f
en dérivant terme
àterme un développement limité d’ordre n +1 de f .
h) Si ∀n ∈ N ∀x ∈ R f (x) =
n
k=0
x
k
k!
+ o(x
n
), alors
∀x ∈ R f (x) = e
x
.
i) Si àt out ordre le développement limité de f en 0n e
comprend que des termes pairs, la fonction f est paire.
j) cos x ∼ 1+
x
2
2
au voisinage de 0.
FormuledeTaylor avec reste
intégral
2 En appliquantlaformule de Taylor àlafonction exponentielle, déterminerlalimite de la suite :
u n = 1 −
1
1!
+
1
2!
−···+
(−1)
n
n!
.
3 En appliquantl af ormule de Taylor àl af onction
x
→ ln(1 + x), déterminer la limite de la suite :
u n = 1 −
1
2
+
1
3
−···+
(−1)
n+1
n
.
4 Calculer une valeur approchée à1 0
− 5
près de
sin 47
◦
.
5
∗ Soit f une fonction de classe C
2
sur [0, 1], telle
que :
f (0) = 0; f(1) = 1; f
(0) = 0; f
(1) = 0.
Montrer qu’il existe a ∈ [0, 1] telque | f
(a)| 4.
Formule de Taylor-Young
6 Soit f une fonction de classe C
2
sur un intervalle
I et a un point de I . Déterminerlalimite :
lim
h→0
f (a + h)+f(a−h)−2f(a)
h 2
.
7 Soit f une fonction de classe C
2
sur un intervalle
I contenant 0. Déterminerlalimite :
lim
x→0
f
(x) −
f (x) − f (0)
x
x
.
Développementslimités
8 Déterminer le développement limité de la fonction f
àl’ordre n au voisinage de a :
a) f (x) = cos xn = 4 a =
π
3
;
b) f (x) = ln xn = 4 a = e;
c) f (x) = e
x
n = 4 a = 1;
d) f (x) =
1
x
n = 4 a = 2;
e) f (x) = Arctan xn = 5a = 0;
f) f (x) = Arccos xn = 5a = 0 .
9 Classer au voisinage de 0 + les fonctions :
x , sin x , tan x , sh x , th x , Arcsin x , Arctan x ,
Argsh x , Argth x .
10 Déterminer le développement limité de la fonction f
àl’ordre n au voisinage de a :
a) f (x) = e
x
Arctan xn = 5a = 0;
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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