EXERCICES
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Formules de Taylor. Développements limités
b) f (x) =
ln x
x
n = 4 a = 1;
c) f (x) =
sin
2
x
x 2
n = 4 a = 0;
d) f (x) = cos
3
xn = 6 a = 0;
e) f (x) = tan xn = 3 a =
π
4
;
f) f (x) = (1 + x)
1
x
n = 3 a = 0;
g) f (x) =
Arctan x
Arcsin x
n = 4 a = 0;
h) f (x) = (cos x)
1
sin x
n = 4 a = 0.
11 Déterminer le D.L. àl’ordre 7auvoisinage de 0dela
fonction tangente, en exploitant la relation qui existe entre
cettefonction et sa dérivée.
Applications des développements
limités
12 Calculer les limites suivantes :
a) lim
x→0
1
sin 2 x
−
1
x 2
; b) lim
x→0
sin x − x cos x
sh x − xch x
;
c) lim
x→0
e
x
− e
sin x
x 3
;
d) lim
x→0
sin x
x
1
x 2 ;
e) lim
x→0
cos x +
1
2
sin
2
x
1
x 4
;
f) lim
x→0
e
Arctan x
− e
tan x
e Arcsin x − e sin x ;
g) lim
x→0
cos
n
x − n cos x + n − 1
sin 4 x
;
h) lim
x→a
x
a
− a
x
log a x − log x a
, avec a > 0e ta = 1 .
13 Étudier les variations de la fonction f et construire
sa courbe représentative en étudiant particulièrement l’existence d’asymptotes et la position de la courbe par rapport à
ces asymptotes :
a) f (x) =
3
x 2 (x − 2) ;
b) f (x) =
x
2
− x +2
x+1
e
−
1
x ;
c) f (x) = x +
|x 2 − 1| ;
d) f (x) = (x
2
− 1) ln
1+x
1−x
.
14 Étudier pour les courbes paramétrées suivantes l’existence d’une tangente au point indiquée tl ap osition de la
courbe par rapport àcette tangente :
a) x(t) = 2t + t
2
; y(t) = 2t −
1
t 2 ; t = −1.
b) x(t) = e
t−1
− t ; y(t) = t
3
− 3t ; t = 1.
c) x(t) = t +
1
t − 1
; y(t) =
t
2
4
− t −
1
t − 1
; t = 3.
Exercices posésaux oraux des concours
15 (Petites Mines 2007)
Donner le développement limité àl’ordre 3auvoisinage de
1delafonction :
f : x →
ln(1 + x)
x 2 .
16 (Petites Mines2007)
Donner le développement limité àl’ordre 100 au voisinage
de 0delafonction :
f (x) = ln
99
k=0
x
k
k!
(on pourra utiliser x = ln(e
x
).)
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