Formules de Taylor. Développements limités
Exercice résolu
ÉGALITÉDETAYLOR-LAGRANGE
Soit fu ne fonction àvaleurs réelles, de classe C
n
sur un intervalleI ,et a, bd eux éléments de I (a < b).
1 On considère la fonction gd éfinie sur [a, b] par :g ( t )=
( b−t )
n
n !
,et on pose α = g(a) =
(b − a)
n
n!
.
Montrerque ge st une bijection de [a, b] dans [0, α].
2 En effectuant le changement de variable u = g(t) dans le reste de la formule de Taylor, démontrer qu’il existe c ∈ [a, b]
tel que:
f(b)=f(a)+f
(a)(b − a)+
f
(a)
2!
(b − a)
2
+ ···+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b − a)
n−1
+
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
3 Quelrésultat connu retrouve-t-on pour n = 1 ?Est-ce encore vrai pour lesfonctions àvaleurs complexes ?
Conseils
Solution
Appliquer le théorème 13 du chapitre 15. 1) La fonction g est continue et strictement décroissante sur l’intervalle
[a, b]:c’est une bijection de [a, b]d ans [g(b), g(a)], c’est-à-dire [0, α];
de plus la fonction g
−1
est continue sur [0, α].
2) La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit :
f (b) =
n−1
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+ R n où R n =
b
a
(b − t)
n−1
(n − 1)!
f
(n)
(t)dt
Utiliser la fonction g
−1
.
Effectuons le changement de variable : u = g(t) =
(b − t)
n
n!
, d’où
du = −
(b − t)
n−1
(n − 1)!
.
R n =
0
α
f
(n)
g
−1
(u)
(−du) =
α
0
f
(n)
◦ g
−1
(u)du
Une fonction continue sur un segment
atteint sa valeur moyenne.
La fonction f
(n)
◦ g
−1
étant continue,elle atteint sa valeur moyenne sur
le segment [0, α]: il existe d ∈ [0, α]t el que :
R n =
(b − a)
n
n!
f
(n)
◦ g
−1
(d)
soit, en posant c = g
−1
(d), quiappartient à[ a , b ]:
R n =
( b−a )
n
n !
f
( n )
( c )
d’où le résultat attendu.
Chercher les éléments de la démonstration quin es ’appliquent plus aux fonctions àvaleurs complexes.
3) Pour n = 1:il existe c ∈ [a, b]t el que f (b) = f (a)+f
(c)(b − a).
On reconnaîtl ’égalité des accroissements finis. On sait que cette égalité
ne s’applique pas aux fonctions vectorielles, pare xemple àl af onction de
R dans C : t
→ e
it
. En effet, on autilisé dans la démonstration le fait
qu’une fonction continue sur un segment atteint sa valeur moyenne, ce
qui découle du théorème des valeurs intermédiaires qui est spécifique aux
fonctions àvaleurs réelles.
360
Exercice résolu
ÉGALITÉDETAYLOR-LAGRANGE
Soit fu ne fonction àvaleurs réelles, de classe C
n
sur un intervalleI ,et a, bd eux éléments de I (a < b).
1 On considère la fonction gd éfinie sur [a, b] par :g ( t )=
( b−t )
n
n !
,et on pose α = g(a) =
(b − a)
n
n!
.
Montrerque ge st une bijection de [a, b] dans [0, α].
2 En effectuant le changement de variable u = g(t) dans le reste de la formule de Taylor, démontrer qu’il existe c ∈ [a, b]
tel que:
f(b)=f(a)+f
(a)(b − a)+
f
(a)
2!
(b − a)
2
+ ···+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b − a)
n−1
+
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
3 Quelrésultat connu retrouve-t-on pour n = 1 ?Est-ce encore vrai pour lesfonctions àvaleurs complexes ?
Conseils
Solution
Appliquer le théorème 13 du chapitre 15. 1) La fonction g est continue et strictement décroissante sur l’intervalle
[a, b]:c’est une bijection de [a, b]d ans [g(b), g(a)], c’est-à-dire [0, α];
de plus la fonction g
−1
est continue sur [0, α].
2) La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit :
f (b) =
n−1
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+ R n où R n =
b
a
(b − t)
n−1
(n − 1)!
f
(n)
(t)dt
Utiliser la fonction g
−1
.
Effectuons le changement de variable : u = g(t) =
(b − t)
n
n!
, d’où
du = −
(b − t)
n−1
(n − 1)!
.
R n =
0
α
f
(n)
g
−1
(u)
(−du) =
α
0
f
(n)
◦ g
−1
(u)du
Une fonction continue sur un segment
atteint sa valeur moyenne.
La fonction f
(n)
◦ g
−1
étant continue,elle atteint sa valeur moyenne sur
le segment [0, α]: il existe d ∈ [0, α]t el que :
R n =
(b − a)
n
n!
f
(n)
◦ g
−1
(d)
soit, en posant c = g
−1
(d), quiappartient à[ a , b ]:
R n =
( b−a )
n
n !
f
( n )
( c )
d’où le résultat attendu.
Chercher les éléments de la démonstration quin es ’appliquent plus aux fonctions àvaleurs complexes.
3) Pour n = 1:il existe c ∈ [a, b]t el que f (b) = f (a)+f
(c)(b − a).
On reconnaîtl ’égalité des accroissements finis. On sait que cette égalité
ne s’applique pas aux fonctions vectorielles, pare xemple àl af onction de
R dans C : t
→ e
it
. En effet, on autilisé dans la démonstration le fait
qu’une fonction continue sur un segment atteint sa valeur moyenne, ce
qui découle du théorème des valeurs intermédiaires qui est spécifique aux
fonctions àvaleurs réelles.
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