Formules de Taylor. Développements limités
soitvectoriellement :
− →
f
π
4
+ h
=
1 / 2
− 9 / 2
+
− 1 / 2
− 1
h
2
+
1 / 2
1
h
3
+
1 / 24
1/3
h
4
+
−−→
o ( h
4
)
On adonc :
− →
V 2 =
− 1 / 2
− 1
et
− →
V 4 =
1 / 24
1/3
(le terme d’ordre3estc olinéaire à
− →
V 2 ) . Les entiers
caractéristiques sont : p = 2, q = 4; il s’agit d’un
pointderebroussement de deuxième espèce.
Pours’entraîner :ex. 14
............................................................................................................ MÉTHODE
Poure ncadrer une fonction sur un intervalle,o np eut utiliser la formule de Taylor avec reste intégral, ou
l’inégalité de Taylor-Lagrange (cf. Application 1, et exercices 4 et 5).
Pourétudier une fonction au voisinage d’un point (parexemple, pour obtenir une limite en ce point), on peut
utiliser la formuledeTaylor-Young (cf. exercices 6 et 7).
Pour calculer un développement limité d’une fonction simple (facile àdériver), on peut utiliser la formule de
Taylor-Young .
Pour calculer un développement limité plus compliqué,ilfaut utiliser les développements usuels et appliquer
les règles concernant les D.L. de sommes,produits, quotients, fonctions composées, intégration, en restant très
attentif àl’ordre de chaque développement limité utilisé (cf. exercices 8, 9 et 10).
Pour calculer unelimite,ilest souvent utile d’effectuer des développements limités àunordre judicieusement
choisi –généralement assez petit (cf. Application 4 et exercice 12).
Pour étudier la position d’une courbepar rapport àune tangente ou une asymptote en un point,onpeut
utiliser un développement limité en ce point (cf. Applications 5et6,et exercice 13).
Pour étudierl ocalement une courbe paramétrée au voisinage d’un point, on peut effectuer un développement
limité de la forme:
− →
f ( t o + h ) =
− →
f ( t o )+
− →
V p h
p
+ ···+
− →
V q h
q
+
−−→
o ( h
q
)
où (
V p ,
V q )est une famille libre.
V p estunvecteur directeur de la tangente.
La position de la courbe parrapport àsatangente dépend de la parité des entiers p et q (cf. exercice 14).
Se souvenir qu’un développementlimité ne donne que des propriétés locales et non globales.
...................................................................................................................................................................................................
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
359
soitvectoriellement :
− →
f
π
4
+ h
=
1 / 2
− 9 / 2
+
− 1 / 2
− 1
h
2
+
1 / 2
1
h
3
+
1 / 24
1/3
h
4
+
−−→
o ( h
4
)
On adonc :
− →
V 2 =
− 1 / 2
− 1
et
− →
V 4 =
1 / 24
1/3
(le terme d’ordre3estc olinéaire à
− →
V 2 ) . Les entiers
caractéristiques sont : p = 2, q = 4; il s’agit d’un
pointderebroussement de deuxième espèce.
Pours’entraîner :ex. 14
............................................................................................................ MÉTHODE
Poure ncadrer une fonction sur un intervalle,o np eut utiliser la formule de Taylor avec reste intégral, ou
l’inégalité de Taylor-Lagrange (cf. Application 1, et exercices 4 et 5).
Pourétudier une fonction au voisinage d’un point (parexemple, pour obtenir une limite en ce point), on peut
utiliser la formuledeTaylor-Young (cf. exercices 6 et 7).
Pour calculer un développement limité d’une fonction simple (facile àdériver), on peut utiliser la formule de
Taylor-Young .
Pour calculer un développement limité plus compliqué,ilfaut utiliser les développements usuels et appliquer
les règles concernant les D.L. de sommes,produits, quotients, fonctions composées, intégration, en restant très
attentif àl’ordre de chaque développement limité utilisé (cf. exercices 8, 9 et 10).
Pour calculer unelimite,ilest souvent utile d’effectuer des développements limités àunordre judicieusement
choisi –généralement assez petit (cf. Application 4 et exercice 12).
Pour étudier la position d’une courbepar rapport àune tangente ou une asymptote en un point,onpeut
utiliser un développement limité en ce point (cf. Applications 5et6,et exercice 13).
Pour étudierl ocalement une courbe paramétrée au voisinage d’un point, on peut effectuer un développement
limité de la forme:
− →
f ( t o + h ) =
− →
f ( t o )+
− →
V p h
p
+ ···+
− →
V q h
q
+
−−→
o ( h
q
)
où (
V p ,
V q )est une famille libre.
V p estunvecteur directeur de la tangente.
La position de la courbe parrapport àsatangente dépend de la parité des entiers p et q (cf. exercice 14).
Se souvenir qu’un développementlimité ne donne que des propriétés locales et non globales.
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Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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