COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
p impair, q pair (Doc. 5)
x p estdusigne de h,
mais x q est toujours positif.
La courbe rested’un même côté
de sa tangente.
C’est une disposition dite ordinaire.
(C’est le cas, par exemple, d’un point birégulier :( p , q )=(1, 2).)
✲
✁
✁
✁ ✕
M 0
−
→
V p
−
→
V q
h > 0
h < 0
✯
Doc. 5 p impair, q pair.
p pair, q impair (Doc. 6)
x p est toujours positif :
il s’agit d’un point de rebroussement.
x q est du signe de h :
la courbe traverse sa tangente,
le rebroussement
est dit de première espèce.
✲
✁
✁
✁ ✕
M 0
−
→
V p
−
→
V q
h > 0
h < 0
✯
Doc. 6 p pair, q impair.
p et q pairs (Doc. 7)
x p et x q restent toujours positifs.
C’est encore un point de rebroussement,
mais sans traversée de la tangente.
Le rebroussementest dit de deuxième espèce.
Dans ce cas, les deux branches h < 0e th>0p euvent avoir éventuellement
le même support, parcouru alternativement dans les deux sens...
✲
✁
✁
✁ ✕
M 0
−
→
V p
−
→
V q
h > 0
h < 0
✯
Doc. 7 p et q pairs.
Notons qu’un point de rebroussement est nécessairement stationnaire.
APPLICATION 7
Étudelocale en un point d’une courbe paramétrée
Étudiera uv oisinage de t 0 =
π
4
la courbe paramétrée
définiepar :
x(t) = sin t (
√ 2 − sin t);
y(t)=(cos t +
√ 2) (2 cos t +sin t − 3
√ 2)
Effectuons un développementlimité d’ordre 4auvoisinage de
π
4
:
x
π
4
+ h
=
√
2
2
cos h +
√ 2
2
sin h
√ 2−
√ 2
2
cos h −
√ 2
2
sin h
=
1
2
1+h−
1
2
h
2
−
1
6
h
3
+
1
24
h
4
+ o(h
4
)
1 − h +
1
2
h
2
+
1
6
h
3
−
1
24
h
4
+ o(h
4
)
=
1
2
1 − h
2
+ h
3
+
1
12
h
4
+ o(h
4
)
y
π
4
+ h
=
1
2
cos h − sin h +2
3cos h − sin h − 6
=
1
2
3 − h −
1
2
h
2
+
1
6
h
3
+
1
24
h
4
+ o(h
4
)
−3 − h −
3
2
h
2
+
1
6
h
3
+
1
8
h
4
+ o(h
4
)
=
1
2
−9 − 2h
2
+2h
3
+
2
3
h
4
+o(h
4
)
358