Formules de Taylor. Développements limités
COURS
19
Remarque :Sip=1 ,on anécessairement
− →
V 1 =
− →
f
( t 0 ) =
− →
0;le point M (t 0 )
est régulier et on retrouve le faitq ue la tangentee st dirigée par le vecteur dérivée
− →
f
( t 0 ) .
Si p > 1, le point est stationnaire, et le développement limité nous donne une nouvelle
méthode très simple pour trouver la tangente en un point stationnaire si elle existe.
Exemple:Démontrer l’existence d’une tangente au point t 0 = 2àla courbe
définie par :
x(t) =
t
2
t − 1
; y(t) =
t
3
+4
t−1
Effectuons un développement limité d’ordre 2auvoisinage de t 0 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(2 + h) =
(2 + h)
2
1+h
=(4 +4h+h
2
)(1 − h + h
2
+ o(h
2
))
= 4+h
2
+o(h
2
)
y(2 + h) =
(2 + h)
3
+4
1+h
=(12 +12h+6h
2
+o(h
2
))(1 − h + h
2
+ o(h
2
))
= 12 +6h
2
+o(h
2
)
soit vectoriellement :
− →
f (2 + h) =
4
12
+
1
6
h
2
+
−−→
o ( h
2
)
Il existe donc une tangente, dirigée par le vecteur
− →
V 2 =
1
6
.
6 . 5 • Position par rapport àlatangente
Avecl es mêmes notations que dans le paragraphe précédent, supposons que
− →
f
possède au voisinage de t 0 un développementlimité de la forme :
− →
f ( t 0 + h ) =
− →
f ( t 0 )+
− →
V p h
p
+ ···+
− →
V q h
q
+
−− −→
o ( h
q
)
où
− →
V p =
− →
0 , et
− →
V q non colinéaire à
− →
V p , q étant le plus petit entier pour lequel
cette condition estréalisée.
La famille(
− →
V p ,
− →
V q )é tant libre, c’est une base du plan. Tous les termes compris
entre l’ordre p et l’ordre q sont colinéaires à
− →
V p ;l et erme
−− −→
o ( h
q
)p eutê tre
décomposésur la base (
− →
V p ,
− →
V q ) . On obtient donc :
− →
f ( t 0 + h ) =
− →
f ( t 0 )+
− →
V p ( h
p
+ o ( h
p
)) +
− →
V q ( h
q
+ o ( h
q
))
En désignant par M 0 et M les points M (t 0 )e tM ( t ):
−− −→
M 0 M = x p
− →
V p + x q
− →
V q avec x p ∼ h
p
x q ∼ h
q
Cecin ous permet de situer la courbe par rapport au repère (M 0 ,
− →
V p ,
− →
V q ) .
Distinguons quatre cas suivant les parités de p et de q :
p et q impairs (Doc. 4)
x p et x q sont du signe de h.
La courbe traverse doncsatangente,
il s’agit d’un point d’inflexion.
✲
✁
✁
✁ ✕
M 0
−
→
V p
−
→
V q
h > 0
h < 0
✯
Doc. 4 p et q impairs.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Remarque :Sip=1 ,on anécessairement
− →
V 1 =
− →
f
( t 0 ) =
− →
0;le point M (t 0 )
est régulier et on retrouve le faitq ue la tangentee st dirigée par le vecteur dérivée
− →
f
( t 0 ) .
Si p > 1, le point est stationnaire, et le développement limité nous donne une nouvelle
méthode très simple pour trouver la tangente en un point stationnaire si elle existe.
Exemple:Démontrer l’existence d’une tangente au point t 0 = 2àla courbe
définie par :
x(t) =
t
2
t − 1
; y(t) =
t
3
+4
t−1
Effectuons un développement limité d’ordre 2auvoisinage de t 0 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(2 + h) =
(2 + h)
2
1+h
=(4 +4h+h
2
)(1 − h + h
2
+ o(h
2
))
= 4+h
2
+o(h
2
)
y(2 + h) =
(2 + h)
3
+4
1+h
=(12 +12h+6h
2
+o(h
2
))(1 − h + h
2
+ o(h
2
))
= 12 +6h
2
+o(h
2
)
soit vectoriellement :
− →
f (2 + h) =
4
12
+
1
6
h
2
+
−−→
o ( h
2
)
Il existe donc une tangente, dirigée par le vecteur
− →
V 2 =
1
6
.
6 . 5 • Position par rapport àlatangente
Avecl es mêmes notations que dans le paragraphe précédent, supposons que
− →
f
possède au voisinage de t 0 un développementlimité de la forme :
− →
f ( t 0 + h ) =
− →
f ( t 0 )+
− →
V p h
p
+ ···+
− →
V q h
q
+
−− −→
o ( h
q
)
où
− →
V p =
− →
0 , et
− →
V q non colinéaire à
− →
V p , q étant le plus petit entier pour lequel
cette condition estréalisée.
La famille(
− →
V p ,
− →
V q )é tant libre, c’est une base du plan. Tous les termes compris
entre l’ordre p et l’ordre q sont colinéaires à
− →
V p ;l et erme
−− −→
o ( h
q
)p eutê tre
décomposésur la base (
− →
V p ,
− →
V q ) . On obtient donc :
− →
f ( t 0 + h ) =
− →
f ( t 0 )+
− →
V p ( h
p
+ o ( h
p
)) +
− →
V q ( h
q
+ o ( h
q
))
En désignant par M 0 et M les points M (t 0 )e tM ( t ):
−− −→
M 0 M = x p
− →
V p + x q
− →
V q avec x p ∼ h
p
x q ∼ h
q
Cecin ous permet de situer la courbe par rapport au repère (M 0 ,
− →
V p ,
− →
V q ) .
Distinguons quatre cas suivant les parités de p et de q :
p et q impairs (Doc. 4)
x p et x q sont du signe de h.
La courbe traverse doncsatangente,
il s’agit d’un point d’inflexion.
✲
✁
✁
✁ ✕
M 0
−
→
V p
−
→
V q
h > 0
h < 0
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Doc. 4 p et q impairs.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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