COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
APPLICATION 6
Utiliser un D.L. pour trouverune asymptote
et placerlacourbe par rapport àcette asymptote
Exemple :f ( x ) =
√ x 2 + x +1
Pour x
= 0, on pose h =
1
x
.
f (x) = F (h) =
1
|h|
√ 1+h+h 2 .
• Quand x tend vers +∞, h tend vers 0et h > 0;
F(h)=
1
h
√ 1+h+h 2
=
1
h
1+
1
2
h+
3
8
h
2
+o(h
2
)
=
1
h
+
1
2
+
3
8
h+o(h)
d’où :
f (x) = x +
1
2
+
3
8x
+ o
1
x
La courbe représentative de f admet au voisinage de
+∞ une asymptote d’équation
y = x +
1
2
.
f (x) −
x +
1
2
∼
(+∞)
3
8x
Cette différence estp ositive au voisinage de +∞ :l a
courbe est au-dessus de son asymptote (Doc. 3).
• Quand x tend vers −∞, h tend vers 0e t
h<0;
f(x)=−
1
h
√ 1+h+h 2
f(x)=−
1
h
1+
1
2
h+
3
8
h
2
+o(h
2
)
=−
1
h
−
1
2
−
3
8
h+o(h)
d’où :
f (x) = −x −
1
2
−
3
8x
+ o
1
x
La courbe représentative de f admet au voisinage de
−∞ une asymptote d’équation
y = −x −
1
2
.
f (x) −
−x −
1
2
∼
(−∞)
−
3
8x
.
Cette différence estpositive au voisinage de −∞ :l a
courbe est au-dessus de son asymptote.
y
x
–2
–1
1
2
1
– 1
– 2
0
–3
Doc. 3
Doc. 3
Pour s’entraîner:ex. 13
6.4 • Tangente en un point d’une courbe paramétrée
Soit
−− −−→
OM (t) =
− →
f ( t )u ne courbe paramétrée du plan, de classe C
k
sur un
intervalle I . Soit t 0 ∈ I une valeur du paramètre. Supposons que f possède au
voisinage de t 0 un développement limité de la forme :
− →
f ( t 0 + h ) =
− →
f ( t 0 )+
− →
V p h
p
+
−−→
o ( h
p
)
où
− →
V p =
− →
0 , alors :
lim
h→0
1
h p
− →
f ( t 0 + h ) −
− →
f ( t 0 )
=
− →
V p
La courbe admet donc au point M (t 0 )u ne tangente dirigée par le vecteur
− →
V p .
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