Formules de Taylor. Développements limités
COURS
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6.2 • Position d’une courbe par rapport àsatangente
Si unefonction f possède un développementlimité d’ordre 1auvoisinage de a,
celui-ci détermine l’équation de la tangente àl ac ourbe représentative de f au
point d’abscisse a. Si on peut pousser ce D.L. àu no rdre supérieur, le premier
terme non nul qui suit permet de préciser la position de la courbe par rapport à
cette tangente au voisinage du point d’abscisse a.
APPLICATION 5
Utiliser un D.L. pour placer unecourbe par rapport àsatangente
Exemple :
f (x) = ln(x
2
+2x+2) au voisinage de 0.
f (x) = ln 2+ln
1+x+
x
2
2
Posons k = x +
x
2
2
. On a:
o(k
3
)=o(x
3
)
ln(1 + k) = k −
k
2
2
+
k
3
3
+ o(k
3
)
1
k = x +
x
2
2
−1/2
k
2
=
x
2
+x
3
+ o(x
3
)
1/3
k
3
=
x
3
+ o(x
3
)
ln(1 + k) = x
−
x
3
6
+ o(x
3
)
D’où :
f (x) = ln 2+x−
x
3
6
+o(x
3
)
La courbe représentative de f admeta up oint A
d’abscisse 0une tangente d’équation y = ln 2+x.
f(x)−(ln 2+x) ∼
(0)
−
x
3
6
Cette différence estdonc positive au voisinage de 0 −
et négative au voisinage de 0 + :l acourbe estau-dessus
de sa tangente àg auche de A et en dessous àd roite
de A (Doc. 2) (cesconsidérations n’ont qu’une valeur
locale :l ac ourbe peut retraverser cette tangente non
loinde A).
y
A
x
1
−1
0
−1
−2
−32 1
− 2
2
3
Doc. 2
Doc. 2
6.3 • Position parrapport àune asymptote
Quand x tend vers +∞ ou −∞, on pose h =
1
x
pour se rameneràune variable
tendantvers 0.
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