COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
La TI-92/Voyage 200 abeaucoup de mal àfaire ce genre de
calcul. On peutl’aider en décomposant le travail (attention
àl’ordre du numérateur et du dénominateur).
1
1 = 1
−1
k =
x
2
+
x
2
3
+ o(x
2
)
1
k
2
=
x
2
4
+ o(x
2
)
1
1+k
=1 −
x
2
−
x
2
12
+ o(x
2
)
ln(1 + x)
ln(1 − x)
=
−1+
x
2
−
x
2
3
+o(x
2
)
1−
x
2
−
x
2
12
+ o(x
2
)
= −1+x−
x
2
2
+o(x
2
)
Pour s’entraîner :ex. 10
6 Applications
desdéveloppements limités
6.1 • Calcul de limites
Les développementsl imités permettent d’obtenir très facilement des équivalents
(unefonction possédant un D.L. au voisinage de a est équivalente en ce point au
premierterme non nul du D.L.), donc des limites.
APPLICATION 4
Utiliser lesD.L. pour calculer une limite
Calculer :
lim
x→0
√ 1+x−
√
1−x
x
−1
x 2
√ 1+x =1+
x
2
−
x
2
8
+
x
3
16
+ o(x
3
)
√ 1 − x = 1 −
x
2
−
x
2
8
−
x
3
16
+ o(x
3
)
√ 1+x−
√
1−x=x+
x
3
8
+o(x
3
)
D’où :
√ 1+x−
√
1−x
x
−1 ∼
(0)
x
2
8
lim
x→0
√ 1+x−
√ 1−x
x
−1
x 2
=
1
8
Pour s’entraîner :ex. 12
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