Formules de Taylor. Développements limités
COURS
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En posant k =
d 1
d 0
h + ··· +
d n
d 0
h
n
+o(h
n
)e tencomposant par le développement
limité de
1
1+k
, on obtiendra le développement limité de
1
g(a + h)
qu’il restera
àmultiplier par celui de f (a + h).
Exemple :
tan x =
x −
x
3
6
+
x
5
120
+ o(x
5
)
1 −
x
2
2
+
x
4
24
+ o(x
5
)
. Posons k = −
x
2
2
+
x
4
24
+ o(x
5
) = O(x
2
), donc
O(k
3
) = o(x
5
): il suffit de développer
1
1+k
àl’ordre 2, avec un reste dominé
par k
3
.
1
1+k
=1−k+k
2
+O(k
3
)
1
1 =1
−1
k =
−
x
2
2
+
x
4
24
+ o(x
5
)
1
k
2
=
x
4
4
+ o(x
5
)
1
cos x
= 1+
x
2
2
+
5 x
4
24
+ o(x
5
)
D’où :t an x =
x −
x
3
6
+
x
5
120
+ o(x
5
)
1+
x
2
2
+
5x
4
24
+ o(x
5
)
tan x = x +
x
3
3
+
2x
5
15
+ o(x
5
)
Remarque :Si lim
x→a
g(x) = 0, il se peutque le quotient
f
g
admette tout de même
un développementlimité au voisinage de a( il faut bien sûr que fa it également une
limite nulle en a). On peut le calculer en simplifiant d’abordpar une même puissance
de xl es développements limités de fe tdeg(ce quiapoureffet d’abaisser l’ordre
du D.L. obtenu).
Calculons, par exemple, le développement limité de
ln(1+x)
ln(1 − x)
àl ’ordre 2a u
voisinage de 0.
ln(1 + x)
ln(1 − x)
=
x −
x
2
2
+
x
3
3
+ o(x
3
)
−x −
x
2
2
−
x
3
3
+ o(x
3
)
=
1 −
x
2
+
x
2
3
+ o(x
2
)
(−1)
1+
x
2
+
x
2
3
+o(x
2
)
Posons :
k =
x
2
+
x
2
3
+ o(x
2
)
1
1+k
=1−k+k
2
+o(k
2
)
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