COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
Il suffit de calculer les développements limitésd es puissances de k et de les
combiner avec les coefficients (d i ):
d 0
1
= 1
d 1
k
=
c 1 h +c 2 h
2
+ ··· +c n h
n
+o(h
n
)
d 2
k
2
=
c
2
1 h
2
+ ··· + ··· +o(h
n
)
···
···
d n
k
n
=
c
n
1 h
n
+o(h
n
)
f ◦u(a+h) = d 0 +d 1 c 1 h
+
···
+o(h
n
)
Exemple : Calculer le développementl imité d’ordre 5a uv oisinage de 0d el a
fonction f : x
→ e
sin x
.
Posons k = sin x = x −
x
3
6
+
x
5
120
+ o
x
5
.
f (x) = e
k
= 1+k+
k
2
2
+
k
3
6
+
k
4
24
+
k
5
120
+o
k
5
. Ici, k ∼ x, donc o(k
5
) = o(x
5
).
1
1 = 1
1
k =
x
−
x
3
6
+
x
5
120
+ o
x
5
1/2
k
2
=
x
2
−
x
4
3
+ o
x
5
1/6
k
3
=
x
3
−
x
5
2
+ o
x
5
1/24
k
4
=
x
4
+ o
x
5
1/120
k
5
=
x
5
+ o
x
5
e
sin x
= 1+ x+
x
2
2
−
x
4
8
−
x
5
15
+ o
x
5
IMPORTANT
Si c1 = 0, il est inutile d’aller jusqu’à
k
n :onpeut s’arrêter dès que l’on obtient des termes négligeables devant
h
n .
Exemple:Calculer le développement
limité d’ordre 6a uv oisinage de 0d e
la fonction f : x → ln(cos x).
Posons
k = cos x − 1
= −
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+ o(x
6 ).
Ici, k = O(x
2 ), donc o(k
3 ) = o(x
6 ).
Il suffit donc de développer le logarithme àl’ordre 3.
f (x) = ln(1 + k)
= k −
k
2
2
+
k
3
3
+ o(k
3 )
1 k = −
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+o(x
6 )
−1/2 k
2 =
x
4
4
−
x
6
24
+o(x
6 )
1/3 k
3 =
−
x
6
8
+o(x
6 )
ln(cos x) = −
x
2
2
−
x
4
12
−
x
6
45
+o(x
6 )
5.4 • Développement limité d’un quotient
Soit f et g deux fonctions de R dans R ou dans C,d éfinies sur un intervalle
I et admettant chacune un développement limité d’ordre n au voisinage d’un
point a de I . Supposons,deplus, que lim
x→a
g(x)
= 0.
f (a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
)
g(a+h) = d 0 +d 1 h+d 2 h
2
+···+d n h
n
+o(h
n
) , avec d 0 = 0
1
g(a + h)
=
1
d 0
·
1
1+
d 1
d 0
h+···+
dn
d0 h n +o(h n )
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