Formules de Taylor. Développements limités
COURS
19
En ajoutant membre àmembre, on obtient :
( f + g)(a + h) = (c 0 + d 0 )+(c 1 +d 1 )h+(c 2 +d 2 )h
2
+···+(c n +d n )h
n
+o(h
n
)
La fonction f +g admet donc un développement limité d’ordre n au voisinage
de a, obtenu en ajoutant les développements limités d’ordre n de f et de g.
Exemple:
sin x +cos x = 1+x−
x
2
2
−
x
3
6
+o
x
3
au voisinage de 0.
5.2 • Développement limité d’un produit
Avec lesm êmes hypothèses, multiplions membre àm embre les développements
limités de f et de g, en négligeant tous les termes de degré supérieur à n :
fg(a + h) = c 0 d 0 +(c 0 d 1 +c 1 d 0 )h+(c 0 d 2 +c 1 d 1 +c 2 d 0 )h
2
+··· +
n
k=0
c k d n−k h
n
+o(h
n
).
La fonction fg admet donc un développement limité d’ordre n au voisinage
de a, obtenu en conservant tous les termes de degré inférieur ou égal à n du
produitdes développements limités d’ordre n de f et de g.
Exemple :
e
x
(1 +sin x) =
1+x+
x
2
2
+
x
3
6
+o
x
3
1+x−
x
3
6
+o
x
3
=1+2x+
3
2
x
2
+
1
2
x
3
+o
x
3
.
5.3• Développement limité d’une fonction composée
Soit u une fonction continue de R dans R définiesur un intervalle I et admettant
un développement limité d’ordre n au voisinaged’un point a de I :
u(a + h) = u(a)+c 1 h+c 2 h
2
+···+c n h
n
+o(h
n
)
et f une fonction de R dans R ou dans C,d éfinie sur l’intervalle u(I )e t
admettant un développement limité d’ordre n au voisinage du point u(a):
f(u(a)+k)=d 0 +d 1 k+d 2 k
2
+···+d n k
n
+o(k
n
)
Posons k = c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
).
Comme k = O(h), toutefonction négligeable devant k
n
est négligeabledevant
h
n
: o(k
n
) ⊂ o(h
n
).
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