COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
4.2 • Développements limitésusuels
Appliquons la formule de Taylor-Young aux fonctions usuelles, dont il est facile
de calculer les dérivées successives (tousces D.L. sont donnés au voisinage de 0) :
e
x
= 1+x+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ···+
x
p
p!
+o(x
p
)
ch x = 1+
x
2
2!
+
x
4
4!
+ ···+
x
2p
(2p)!
+ o(x
2p
)
sh x = x +
x
3
3!
+
x
5
5!
+ ···+
x
2p+1
(2p +1)!
+ o(x
2p+1
)
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−···+(−1)
p x
2p
(2p)!
+ o(x
2p
)
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−···+(−1)
p x
2p+1
(2p +1)!
+ o(x
2p+1
)
Pour tout réel α :
(1 + x)
α
= 1+αx+
α(α−1)
2!
x
2
+ ···+
α(α−1) ···(α−p+1)
p!
x
p
+o(x
p
)
On retrouve, pour α = −1:
1
1+x
=1−x+x
2
−x
3
+···+(−1)
p
x
p
+ o(x
p
)
ou, en changeant x en −x :
1
1 − x
= 1+x+x
2
+x
3
+···+x
p
+o(x
p
)
En intégrant terme àterme :
ln(1+x)=x−
x
2
2
+
x
3
3
−···+(−1)
p−1 x
p
p
+ o(x
p
)
ln(1 − x) = −x −
x
2
2
−
x
3
3
−···−
x
p
p
+o(x
p
)
Pour α =
1
2
:
√ 1+x =1+
1
2
x−
1
8
x
2
+o ( x
2
)
Pour s’entraîner :ex. 8et9
5 Opérations
sur les développements limités
5.1 • Développementlimité d’une somme
Soit f et g deux fonctions de R dans R ou dans C ,définies sur un intervalle
I et admettant chacune un développement limité d’ordre n au voisinage d’un
point a de I .
f (a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
)
g(a+h) = d 0 +d 1 h+d 2 h
2
+···+d n h
n
+o(h
n
)
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