Formules de Taylor. Développements limités
COURS
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IMPORTANT
La réciproque du théorèmeest fausse :
si une fonction dérivable f admet
un développementl imité d’ordre n
au voisinage de a, sa dérivée n’admet
pas nécessairement un développement
limité d’ordre n − 1.
Par exemple, la fonction
f :
x → x
3 sin
1
x
admet un D.L. d’ordre
2a uvoisinagede0: f( x )=o ( x
2 )
f est dérivable sur R mais sa dérivée f
n’est pasd érivable en 0
(cf. §3 . 1), et, parc onséquent, f
n’admetpas de développement limité
d’ordre1 ...
Cependant, si l’ons ait que f
possède un développementl imité
d’ordre n − 1a uv oisinaged e a ,
on peut l’obtenir en dérivant terme à
terme celui de f .
Exemple : En itérant l’intégration terme àterme, on obtient :
sin x = x + o(x)
− cos x = −1+
x
2
2
+o(x
2
)
−sin x = −x +
x
3
6
+ o(x
3
)
cos x = 1 −
x
2
2
+
x
4
24
+ o(x
4
)
sin x = x −
x
3
6
+
x
5
120
+ o(x
5
), etc.
4 Formule de Taylor-Young
4.1 • Développementlimité d’une fonction de classe C
p
Le théorème d’intégrationterme àterme permet de démontrer que toute fonction
de classe C
p
possèdeundéveloppement limité d’ordre p qui n’est autre que son
développement de Taylor.
La fonction taylor(f(x),x,n,a)
donne le développement de TaylorYoung de f (x)àl’ordre n au voisinage de a, sansécrire le terme o(x
n )
qu’il faut penser àa jouter. On peut
omettred ’indiquer a, la valeur par
défaut étant alors 0.
Théorème
Soit p ∈ N, et f une fonction de R dans R ou dans C ,
de classe C
p
sur un intervalle I . f possède au voisinage de
tout point a de I un développementlimité d’ordre p donné
par :
f (a + h) = f (a)+f
(a)h+
f
(a)
2!
h
2
+ ···
+
f
(p)
(a)
p!
h
p
+o(h
p
)
Cette égalité s’appelle formule de Taylor-Young àl’ordre p.
Démonstration
Raisonnons par récurrence.
• Pour p = 0, toute fonction de classe C
0
(c’est-à-dire continue) possède un
développement limité d’ordre 0:
f(a+h)=f(a)+o(1)
• Soit p ∈ N tel que toute fonction de classe C
p
possède le développement
limité d’ordre p annoncé. Soit f une fonctiond ec lasse C
p+1
;a ppliquons
l’hypothèsederécurrence àsadérivée f
:
f
(a + h) = f
(a)+f
(a)h + ···+
f
(p+1)
(a)
p!
h
p
+ o(h
p
)
Intégronsterme àterme :
f (a + h) = f (a)+f
(a)h+
f
(a)
2
h
2
+ ···+
f
(p+1)
(a)
(p +1)!
h
p+1
+ o(h
p+1
)
Parrécurrence, le résultat est donc établi pour tout entier p ∈ N.
Pour s’entraîner :ex. 6et7
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