COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
Corollaire 3.1
Si une fonctionpaire (respectivement impaire) admet un développement limité
au voisinage de 0, ce développement est pair (respectivement impair).
IMPORTANT
Ce corollaire n’admet pas de réciproque :s iu ne fonction admet au
voisinage de 0u ndéveloppement limité pair, fût-ce àtout ordre, elle n’est
pas nécessairement paire :l af onction « o(x
n )»n’a aucune raison d’être
paire... Il ne faut pas perdre de vue
qu’un développement limité au voisinage d’un point a est une propriété
locale qui n’engage la fonction que
sur un intervalle aussi petit quel ’on
veuta utour de a, et qu’onn ep eut
en aucun case nd éduire des propriétés globales de la fonction comme la
parité,lamonotonie, etc.
Démonstration
Soit f unef onction paire admettant un développement limité d’ordre n au
voisinage de 0. Comparons les développements limités de f (x)e tde f(−x):
f(x)=c 0 +c 1 x+c 2 x
2
+c 3 x
3
+···+c n x
n
+o(x
n
)
f (−x)=c 0 −c 1 x+c 2 x
2
−c 3 x
3
+···+(−1)
n
c n x
n
+ o(x
n
)
Grâce àl ’unicité d’un développement limité, on peut identifier les coefficients
correspondants. Tous les coefficientsd’indice impair sont nuls :ledéveloppement
limité est pair.
Même raisonnementpour une fonction impaire.
3.3 • Intégrationterme àterme
d’undéveloppement limité
Théorème 4
Soit f une fonction de R dans R ou C,dérivable sur un intervalle I .
Si sa dérivée f
admet un développement limité d’ordre n au voisinaged ’un
point a de I :
f
(a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
)
alors f admet au voisinage de a un développementlimité d’ordre n+1 obtenu
en intégrantterme àterme celui de f
:
f (a + h) = f (a)+c 0 h+c 1
h
2
2
+c 2
h
3
3
+···+c n
h
n+1
n +1
+o(h
n +1
)
Démonstration
Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle J = {h ∈ R, a + h ∈ I } par :
ϕ(h) = f (a + h) − f (a) − c 0 h − c 1
h
2
2
− c 2
h
3
3
−···−c n
h
n+1
n +1
Il s’agit de démontrer que ϕ(h)e st négligeable devant h
n+1
au voisinage de 0.
La fonction ϕ est dérivable sur J et :
ϕ
(h) = f
(a + h) − c 0 − c 1 h − c 2 h
2
−···−c n h
n
= o(h
n
)
c’est-à-dire :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀h ∈ J |h| α ⇒| ϕ
( h ) | ε | h |
n
Pour tout réel t comprisentre 0e th: | ϕ
( t ) |ε | t |
n
ε | h |
n
.
D’après l’inégalité des accroissements finis :
ϕ(h) − ϕ(0)
h
ε|h|
n
Or ϕ(0) = 0, donc |ϕ(h)| ε|h|
n+1
.
On adonc bien ϕ(h) = o(h
n+1
)a uvoisinage de 0.
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Formules de Taylor. Développements limités
Corollaire 3.1
Si une fonctionpaire (respectivement impaire) admet un développement limité
au voisinage de 0, ce développement est pair (respectivement impair).
IMPORTANT
Ce corollaire n’admet pas de réciproque :s iu ne fonction admet au
voisinage de 0u ndéveloppement limité pair, fût-ce àtout ordre, elle n’est
pas nécessairement paire :l af onction « o(x
n )»n’a aucune raison d’être
paire... Il ne faut pas perdre de vue
qu’un développement limité au voisinage d’un point a est une propriété
locale qui n’engage la fonction que
sur un intervalle aussi petit quel ’on
veuta utour de a, et qu’onn ep eut
en aucun case nd éduire des propriétés globales de la fonction comme la
parité,lamonotonie, etc.
Démonstration
Soit f unef onction paire admettant un développement limité d’ordre n au
voisinage de 0. Comparons les développements limités de f (x)e tde f(−x):
f(x)=c 0 +c 1 x+c 2 x
2
+c 3 x
3
+···+c n x
n
+o(x
n
)
f (−x)=c 0 −c 1 x+c 2 x
2
−c 3 x
3
+···+(−1)
n
c n x
n
+ o(x
n
)
Grâce àl ’unicité d’un développement limité, on peut identifier les coefficients
correspondants. Tous les coefficientsd’indice impair sont nuls :ledéveloppement
limité est pair.
Même raisonnementpour une fonction impaire.
3.3 • Intégrationterme àterme
d’undéveloppement limité
Théorème 4
Soit f une fonction de R dans R ou C,dérivable sur un intervalle I .
Si sa dérivée f
admet un développement limité d’ordre n au voisinaged ’un
point a de I :
f
(a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
)
alors f admet au voisinage de a un développementlimité d’ordre n+1 obtenu
en intégrantterme àterme celui de f
:
f (a + h) = f (a)+c 0 h+c 1
h
2
2
+c 2
h
3
3
+···+c n
h
n+1
n +1
+o(h
n +1
)
Démonstration
Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle J = {h ∈ R, a + h ∈ I } par :
ϕ(h) = f (a + h) − f (a) − c 0 h − c 1
h
2
2
− c 2
h
3
3
−···−c n
h
n+1
n +1
Il s’agit de démontrer que ϕ(h)e st négligeable devant h
n+1
au voisinage de 0.
La fonction ϕ est dérivable sur J et :
ϕ
(h) = f
(a + h) − c 0 − c 1 h − c 2 h
2
−···−c n h
n
= o(h
n
)
c’est-à-dire :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀h ∈ J |h| α ⇒| ϕ
( h ) | ε | h |
n
Pour tout réel t comprisentre 0e th: | ϕ
( t ) |ε | t |
n
ε | h |
n
.
D’après l’inégalité des accroissements finis :
ϕ(h) − ϕ(0)
h
ε|h|
n
Or ϕ(0) = 0, donc |ϕ(h)| ε|h|
n+1
.
On adonc bien ϕ(h) = o(h
n+1
)a uvoisinage de 0.
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