Formules de Taylor. Développements limités
COURS
19
fa dmet donc un D.L. d’ordre 2en0.Elle est prolongeable par continuité en 0etson
prolongementcontinu fe st dérivable en 0:
⎧
⎨
⎩
∀x =0 f
(x)=1+2x+3x
2
sin
1
x
− x cos
1
x
f
(0) = 0
Mais :
f
(x) − f
(0)
x
= 2+3xsin
1
x
− cos
1
x
Ce quotient n’a pasdelimite en 0: fn ’admet pas de dérivée seconde en 0!
3.2• Unicité d’un développement limité
Théorème 3
Si une fonction f admet un développementlimité d’ordre n au voisinaged’un
point a, ce développementest unique.
IMPORTANT
L’unicité du développement limité
d’une fonction en un pointnedoitpas
laisserpenser qu’un développement limité caractérise entièrement la fonction au voisinage de ce point, comme
le montre l’Application 3.
Démonstration
Supposonsque f admettedeux développements limités différents àl’ordre n :
f (a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
) = d 0 +d 1 h+d 2 h
2
+···+d n h
n
+o(h
n
)
Soit i le plus petitindice tel que c i
= d i . On aalors :
c i h
i
+ o(h
i
) = d i h
i
+ o(h
i
), d’où
c i − d i = o(1) :c ontradiction !
APPLICATION 3
Une fonction non nulle dont le D.L. est nul àtout ordre
Soit fl afonction définie sur R
∗
par :f( x )=e
−
1
x 2
.
Déterminer le développement limité de fà l’ordre n
en 0. En déduire que deux fonctions peuvent admettre
le même développementl imité àt out ordre en un point
sans être égales en aucun point.
Déterminons la limite éventuelle de
f (x)
x n en 0.
En posant X =
1
x 2 , on a:
lim
x→0
1
x n e
−
1
x 2
= lim
X →+∞
X
n
2 e
−X = 0
Ce qui signifie,que pour tout entier positif n, f (x)
est négligeabledevant x
n
au voisinage de 0. Le développement(très) limité de f en 0est donc :
f (x) = o(x
n
)
La fonction f alemême développement limité àtout
ordre que la fonction nulle, bien qu’elle ne s’annule
en aucun point (tant qu’on ne la prolonge pas par
continuité en 0).
Plus généralement, en ajoutant cette fonction f àune
fonction quelconque admettantundéveloppement limité en 0, on obtiendra une fonction admettant exactement le même développement limité.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
347
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fa dmet donc un D.L. d’ordre 2en0.Elle est prolongeable par continuité en 0etson
prolongementcontinu fe st dérivable en 0:
⎧
⎨
⎩
∀x =0 f
(x)=1+2x+3x
2
sin
1
x
− x cos
1
x
f
(0) = 0
Mais :
f
(x) − f
(0)
x
= 2+3xsin
1
x
− cos
1
x
Ce quotient n’a pasdelimite en 0: fn ’admet pas de dérivée seconde en 0!
3.2• Unicité d’un développement limité
Théorème 3
Si une fonction f admet un développementlimité d’ordre n au voisinaged’un
point a, ce développementest unique.
IMPORTANT
L’unicité du développement limité
d’une fonction en un pointnedoitpas
laisserpenser qu’un développement limité caractérise entièrement la fonction au voisinage de ce point, comme
le montre l’Application 3.
Démonstration
Supposonsque f admettedeux développements limités différents àl’ordre n :
f (a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
) = d 0 +d 1 h+d 2 h
2
+···+d n h
n
+o(h
n
)
Soit i le plus petitindice tel que c i
= d i . On aalors :
c i h
i
+ o(h
i
) = d i h
i
+ o(h
i
), d’où
c i − d i = o(1) :c ontradiction !
APPLICATION 3
Une fonction non nulle dont le D.L. est nul àtout ordre
Soit fl afonction définie sur R
∗
par :f( x )=e
−
1
x 2
.
Déterminer le développement limité de fà l’ordre n
en 0. En déduire que deux fonctions peuvent admettre
le même développementl imité àt out ordre en un point
sans être égales en aucun point.
Déterminons la limite éventuelle de
f (x)
x n en 0.
En posant X =
1
x 2 , on a:
lim
x→0
1
x n e
−
1
x 2
= lim
X →+∞
X
n
2 e
−X = 0
Ce qui signifie,que pour tout entier positif n, f (x)
est négligeabledevant x
n
au voisinage de 0. Le développement(très) limité de f en 0est donc :
f (x) = o(x
n
)
La fonction f alemême développement limité àtout
ordre que la fonction nulle, bien qu’elle ne s’annule
en aucun point (tant qu’on ne la prolonge pas par
continuité en 0).
Plus généralement, en ajoutant cette fonction f àune
fonction quelconque admettantundéveloppement limité en 0, on obtiendra une fonction admettant exactement le même développement limité.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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