COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
3 Développements limités
3.1 • Généralités
IMPORTANT
En abrégé, D.L.
Soit f une fonction de R dans R ou dans C ,définie sur un intervalle I et a un
élément ou une borne de I . Soit n ∈ N;o ndit que f admet un développement
limité d’ordre n au voisinage de a s’il existe un polynôme P de degré inférieur
ou égal à n telque :
f (a + h) = P(h)+o(h
n
)a uvoisinage de h = 0
C’est-à-dire :
f (a + h) = c 0 + c 1 h + c 2 h
2
+ ···+c n h
n
+o(h
n
)
Exemples :
1
1 − h
=
1 − h
n+1
1 − h
+
h
n+1
1 − h
= 1+h+h
2
+···+h
n
+
h
n+1
1 − h
Or, au voisinage de 0:
h
n +1
1 − h
= o(h
n
). D’où :
1
1 − h
= 1+h+h
2
+···+h
n
+o(h
n
)a uvoisinage de h = 0
De même, en changeant h en −h :
1
1+h
=1−h+h
2
+···+(−1)
n
h
n
+ o(h
n
)a uvoisinage de h = 0
Remarques :
L’existence d’un développement limité d’ordre 0: f(a+h)=c 0 +o(1) équivaut
àl’existence d’une limite en a :l im
x→a
f (x) = c 0 . Si fe st définie en a, c 0 = f (a).
Sinon, c 0 est la valeur assurant un prolongement continu de fe na .
L’existence d’un développement limité d’ordre 1: f( a+h )=c 0 +c 1 h+o ( h )
équivaut àladérivabilité en ad ef ou de son prolongement continu. Le coefficient
c 1 est la valeur de la dérivée en a.
On pourrait penser que l’existence d’un développementlimité d’ordre 2équivaut à
l’existence d’une dérivée seconde en ad ef ou de son prolongement continu... Il n’en
est rien comme le montre l’exemple suivant :
f (x) = 1+x+x
2
+x
3
sin
1
x
Comme :
lim
x→0
x sin
1
x
= 0, f (x) = 1+x+x
2
+o(x
2
) au voisinage de 0.
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