Formules de Taylor. Développements limités
COURS
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• Si x < a :
x
a
(x − t)
p
p!
f
(p+1)
(t)d t
a
x
( x−t )
p
p !
f
( p +1)
(t)
d t
M
a
x
(t − x)
p
p!
d t M
(a − x)
p+1
(p +1)!
Dans tous lescas, le reste est majoré en valeur absolue par M
|x − a|
p+1
(p +1)!
.
IMPORTANT
Pour p = 0, on retrouve l’inégalité
des accroissements finis :
si ∀t ∈ I | f
(t)| M ,
alors | f (x) − f (a)| M |x − a|.
Pour s’entraîner :ex. 2à5
APPLICATION 2
MéthodedeNewton
Soit fu ne fonction de classe C
2
sur [a, b] telleque :
f (a)f (b) < 0, ∀x ∈ [a, b] | f
(x)| m 1 > 0
et
| f
(x)| M 2
On désigne par C la courbe représentative de f .
1) Démontrerque fp ossède sur ]a, b[ un unique zéro,
que l’on notera α.
2) On prendpour valeur approchée de α le réel β, abscissedupoint d’intersection de la tangenteà C au point
d’abscisse a, avec l’axe Ox. Majorerl’erreur commise
|α − β|.
y
x
a
β
α
b
O
Doc. 1
doc1
1) Le théorème des valeurs intermédiaires prouve
l’existence de α ∈ ]a, b[t el que f (α) = 0( Doc. 1).
L’unicité vient du fait que f
est continue et ne s’annule passur ]a, b[e tque par conséquent f est strictementmonotone sur ]a, b[.
2) L’équation de la tangente à C au point d’abscisse
a est :
y − f (a) = f
(a)(x − a)
On en déduit β = a −
f (a)
f (a)
.
|α − β| =
α − a +
f (a)
f (a)
=
| f (a)+(α−a)f
(a)|
|f (a)|
D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange :
| f (a)+(α−a)f
(a)|M 2
|α−a|
2
2
M 2
(b−a)
2
2
Par ailleurs,
1
| f (a)|
1
m 1
.
D’où :
|α − β|
M 2 (b − a)
2
2m 1
Cette méthode d’approximation convient bien aux
fonctions dont la dérivée est grande en valeura bsolue (m 1 grand) et dont la dérivées econde est faible
(M 2 petit).
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