COURS 19
Formules de Taylor. Développements limités
APPLICATION 1
Encadrement de la fonction sinus
Démontrerque :
∀x ∈ [0, π]
x −
x
3
6
sin x x −
x
3
6
+
x
5
120
Écrivons la formule de Taylor avec reste intégral
pourl af onction sinus àl ’ordre 3, puis àl ’ordre 4:
sin x = x −
x
3
6
+ I 3 (x),
avec
I 3 (x) =
x
0
(x − t)
3
3!
sin t d t.
sin x = x −
x
3
6
+ I 4 (x),
avec
I 4 (x) =
x
0
(x − t)
4
4!
cos t d t
x ∈ [0, π], donc I 3 (x) 0.
I 4 (x)
x
0
(x − t)
4
4!
| cos t| d t
x
0
(x − t)
4
4!
d t =
x
5
120
D’où :0 sin x − x +
x
3
6
x
5
120
.
2 InégalitédeTaylor-Lagrange
Louis Lagrange :mathématicien français
(1736-1813).
Auteur de trèsnombreux et importants
travauxsur les séries, les équations
différentielles, la théoriedes nombres, les
équations algébriques, les groupes.
Créateur de la mécanique analytique.
Dans la pratique, on cherche surtoutàm ajorer le reste intégral de la formule de
Taylor.
Théorème 2
Soit f une fonctiondeRdans R ou dans C ,declasse C
p+1
sur un intervalle
I , et a un élément de I . Si
∀t ∈ I | f
(p+1)
(t)| M , alors :
∀x ∈ I
f (x) −
p
k=0
(x − a)
k
k!
f
(k)
(a)
M
|x − a|
p+1
(p +1)!
Démonstration
• Si x a :
x
a
(x − t)
p
p!
f
(p+1)
(t)d t
x
a
( x−t )
p
p !
f
( p +1)
(t)
d t
M
x
a
(x − t)
p
p!
d t M
(x − a)
p+1
(p +1)!
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